矩阵的除数函数
The divisor function for matrices
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中文总结 AI 辅助
本文定义矩阵除数函数$\tau_n(T,M)$，利用格点计数推导其在固定非奇异或零矩阵下的渐近公式，并证明任意非奇异矩阵对应的该函数的本质最优一致上界。
中文摘要 AI 辅助
我们引入矩阵除数函数$\tau_n(T,M)$，其用于计数$n\times n$整数矩阵$A$、$B$满足$AB=M$且高度不超过$T$的因式分解数量。对于固定的非奇异矩阵$M$或零矩阵$M=O_n$，我们利用格点计数方法证明了当$T\to\infin$时$\tau_n(T,M)$的渐近公式；还对任意非奇异矩阵$M$，证明了$\tau_n(T,M)$的本质最优一致上界。
英文摘要
We introduce a matrix divisor function $τ_n(T,M)$, counting factorisations $AB=M$ for $n\times n$ integer matrices $A,B$ of height at most $T$. For a fixed non-singular $M$, or for the zero matrix $M=O_n$, we prove an asymptotic formula for $τ_n(T,M)$, as $T\to \infty$, using lattice point counting. We also prove an essentially sharp uniform upper bound for $τ_n(T,M)$, for an arbitrary non-singular matrix $M$.
