AI 中文总结
该研究针对无穷维希尔伯特空间的真开子集，利用在配备高斯测度的有限维开凸集上证明的与维度无关的高阶索伯列夫范数估计，得到非退化高斯测度下的范数等价性，还解决了马利亚万-索伯列夫范数等价性的遗留情形，是相关领域的首个真开子集等价定理。
AI 中文摘要
我们在配备高斯测度的$\boldsymbol{\text{R}}^n$的开凸子集上证明了与维度无关的高阶索伯列夫范数估计，并利用该估计得到了配备非退化高斯测度的$\boldsymbol{\text{ℓ}}^2$的非空开凸子集上的范数等价性。据我们所知，这是首个关于无穷维希尔伯特空间真开子集的此类等价定理，超出了此前仅针对全空间的结果。我们还证明了对所有$p \boldsymbol{\text{∈}} [1,\boldsymbol{\text{∞}})$和$k \boldsymbol{\text{≥}} 2$的马利亚万-索伯列夫范数等价性，其中包括Addona-Muratori-Rossi在文献[\text{AddonaMuratoriRossi}]中遗留的$p=1$、$k \boldsymbol{\text{≥}} 3$的情形。
英文摘要
We prove dimension-free higher-order Sobolev norm estimates on open convex subsets of $\mathbb{R}^n$ with respect to Gaussian measure and use them to obtain norm equivalence on nonempty open convex subsets of $\ell^2$ endowed with a nondegenerate Gaussian measure. To the best of our knowledge, this is the first such equivalence theorem on a proper open subset of an infinite-dimensional Hilbert space, beyond the earlier whole-space results. We also prove the Malliavin--Sobolev norm equivalence for all $p\in[1,\infty)$ and $k\ge2$, including the case $p=1$, $k\ge3$ left open by Addona--Muratori--Rossi in \cite{AddonaMuratoriRossi}.
