发表机构
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
针对有限域上可表示拟阵，证明特征多项式在特定条件下为正，揭示超平面规避的几何性质，借助弗罗贝尼乌斯幂理想与组合零化引理完成证明，并检验定理适用范围。
AI 中文摘要
设 $q=p^k$，其中 $p$ 为素数，$M$ 是有限域 ${\boldsymbol{\rm F}}_q$ 上可表示的有限拟阵，记 $\boldsymbol{\rm chi}_M(t)$ 为其特征多项式，$\boldsymbol{\rm decop}(M)$ 为覆盖其基集所需的最少独立集数量。我们证明当 $k\boldsymbol{\rm ge}\boldsymbol{\rm decop}(M)$ 时，$\boldsymbol{\rm chi}_M(q)\boldsymbol{\rm gt}0$；几何上，$M$ 的任意表示确定的中心超平面无法覆盖环境向量空间的对偶空间。证明依赖于弗罗贝尼乌斯幂理想 $(X_1^{p^s},\boldsymbol{\rm ldots},X_n^{p^s})$（$s\boldsymbol{\rm ge}1$），每个理想在任意线性坐标变换下保持不变，而元素非成员性对应存在每个变量指数均有界的单项式，这允许对多个可逆线性形式系统进行逐次归一化且不丢失已得的指数界，再结合组合零化引理的系数形式得到公共非零点。最后我们检验该定理的适用范围：M.~J.~Moghaddamzadeh 的未发表猜想预测素域上有更强结论，而射影几何表明其直接类比在真扩域上不成立，即便满足相同数值不等式。
英文摘要
Let $q=p^k$, and let $A_1,\ldots,A_{r-1}$ be invertible $n\times n$ matrices over ${\mathbb F}_q$. We prove that, if $k\ge r$, there is a vector $x$ for which \[ x,A_1x,\ldots,A_{r-1}x \] are all nowhere zero. For $r=2$ this recovers the theorem of Alon and Tarsi over nonprime finite fields. The proof tracks one monomial in the product of the coordinate forms. Frobenius powers keep every exponent below $p^r$, and finite-field polynomial nonvanishing supplies the required vector. The same method treats rectangular matrices with independent rows and prescribed forbidden values. The method also gives an extension-degree criterion for representable matroids and clarifies an unpublished prime-field conjecture of M. J. Moghaddamzadeh. Projective-geometric examples explain why the analogous field-size statement fails over proper extensions and, translated back to matrices, give lower bounds for the large-field problem.
Comments14 pages, No figures, Major revision
