AI 中文总结
该研究在组合数学领域，证明了奇环的广义Turán数满足次二次上界，结合已有结果证实了Gerbner等人的相关猜想。
AI 中文摘要
对于图$H$和图族$\u27e6F$，令$\text{ex}(n,H,\u27e6F)$表示含$n$个顶点的$\u27e6F$-自由图中$H$的拷贝的最大数目。对每个整数$i\ue8953$，令$C_i$表示长度为$i$的环。当$r\ue8953$时，设$\u27e6C_r=\u007bC_3,C_4,\u2026,C_r\u007d$，并设$\u27e6C_2=\u2205$。本文证明，对所有整数$l>k\ue8942$，有$$ \text{ex}(n,C_{2k+1},\u27e6C_{2k}\u222a\u007bC_{2l+1}\u007d) =O_{k,l} \u007bn^{2-\frac{1}{k(k+1)(l-k)}}\u007d. $$结合已知的$C_{2l+1}$-自由图中三角形数目的上界，该结果证实了Gerbner、Gy\u0151ri、Methuku和Vizer提出的一个猜想。
英文摘要
For a graph $H$ and a family of graphs $\mathcal F$, let $\text{ex}(n,H,\mathcal F)$ denote the maximum number of copies of $H$ in an $\mathcal F$-free graph on $n$ vertices. For every integer $i\ge 3$, let $C_i$ denote the cycle of length $i$. For $r\ge 3$, set $\mathscr {C}_r=\{C_3,C_4,\ldots,C_r\},$ and set $\mathscr {C}_2=\varnothing$. In this paper, we prove that, for all integers $l>k\ge 2$, $$ \text{ex}(n,C_{2k+1},\mathscr {C}_{2k}\cup\{C_{2l+1}\}) =O_{k,l} \left(n^{2-\frac{1}{k(k+1)(l-k)}}\ \ \right). $$ Together with the known upper bounds for the number of triangles in $C_{2l+1}$-free graphs, this confirms a conjecture of Gerbner, Győri, Methuku, and Vizer.
