双参数与Zygmund矩形的关键双深度Journé填充
A characterization of two-depth Journé packing for bi-parameter and Zygmund rectangles
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本文证明双参数二进矩形族的关键双深度Journé填充估计，其指数和为最优，且对满足特定边长关系的二进Zygmund矩形也成立，该估计对三参数矩形不成立。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了Journé覆盖引理的一种关键双深度形式。对于有限测度集合Ω中两两不可比的双参数二进矩形族U（每个矩形I=I¹×I²），设e₁(I;Ω)和e₂(I;Ω)分别为其在第一、第二坐标方向的嵌入深度。对任意0<s<1，定义加权高度Hₛ(x):=∑_{I∈U}(e₁(I;Ω)+1)⁻ˢ(e₂(I;Ω)+1)⁻⁽¹⁻ˢ⁾1_I(x)。单个单变量深度因子不可和，但∫_Ω Hₛ(x)dx=∑_{I∈U}(e₁(I;Ω)+1)⁻ˢ(e₂(I;Ω)+1)⁻⁽¹⁻ˢ⁾|I|≲1/(s(1-s))·|Ω|，指数和s+(1-s)=1是最优的，故该估计被称为关键估计。实际上，对足够小的绝对常数c>0，高度Hₛ满足∫_Ω e^{cs(1-s)Hₛ(x)}dx≲|Ω|，两个估计中的s(1-s)依赖关系也均为最优。该关键填充估计对无限制的三参数矩形不成立，但对二进Zygmund矩形（即满足ℓ(I³)=ℓ(I¹)ℓ(I²)的矩形I=I¹×I²×I³），同样的L¹估计成立。
英文摘要
We completely characterize a two-depth version of Journé's covering lemma in the bi-parameter setting. Let $\mathcal U$ be an incomparable family of bi-parameter dyadic rectangles contained in $Ω$, and write $e_i(I):=e_i(I;Ω)$ for the two embeddedness depths. For every coordinatewise nonincreasing $w\colon\mathbb N^2\to[0,\infty)$, the estimate \[ \sum_{I\in\mathcal U}w(e_1(I),e_2(I))|I|\lesssim_w|Ω| \] holds uniformly in $(\mathcal U,Ω)$ if and only if the following fixed-total condition holds: \[ \|w\|_{\mathrm{ft}}:=\sup_{N\geq0}\sum_{a=0}^Nw(a,N-a)<\infty. \] For instance, $\|(a+1)^{-s}(b+1)^{-(1-s)}\|_{\mathrm{ft}}\sim[s(1-s)]^{-1}$ for $0<s<1$, so this allows weights that are not summable in either variable, while one-depth theory holds precisely for summable weights. Exactly the same characterization holds for dyadic Zygmund rectangles $I=I^1\times I^2\times I^3$ with $\ell(I^3)=\ell(I^1)\ell(I^2)$. We use probabilistic packing methods to prove the sufficiency, and these techniques also yield sparse refinements of the preceding estimates, which self-improve to various forms of exponential integrability.
发表机构
- Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
