AI 中文总结
本文研究长度为2的卡普雷卡尔循环，找出其数的一般性质，并对两个整数含相同最小数字的所有此类2-循环进行分类。
AI 中文摘要
1949年D. R. 卡普雷卡尔（D.~R. Kaprekar）发现了整数的一个奇特性质：将4位数的数字按降序和升序排列，求这两个整数的正差值，对除1111倍数外的任意4位数重复此过程，最终会得到数字6174，该过程在此终止，因为6174是此过程的不动点。一般来说，从任意整数开始重复此过程，要么终止于不动点（如4位数的情况），要么进入称为卡普雷卡尔循环的数循环。2011年，多兰（Dolan）对该过程的所有不动点进行了分类。我们研究长度为2的卡普雷卡尔循环，找出卡普雷卡尔2-循环中数的一般性质，并对两个整数具有相同最小数字的所有2-循环进行分类。
英文摘要
A curious property of integers, first observed by D.~R. Kaprekar in 1949, is as follows: write the digits of a 4-digit number in both descending and ascending order, and then find the positive difference between these integers. Iterating this process on any 4-digit number - except for multiples of 1111 - eventually produces the number 6174. The process ends here, since 6174 is a fixed point of the procedure. In general, if we start with any integer and iterate this process, it either ends at a fixed point (as with 4 digits) or enters a cycle of numbers, called a Kaprekar cycle. In 2011, Dolan classified all fixed points of this process. We study Kaprekar cycles of length 2. We find general properties of numbers in a Kaprekar 2-cycle, and we classify all 2-cycles such that the two integers have the same smallest digit.
Comments25 pages; comments welcome
