通过扭曲的乔拉猜想证明范德瓦尔登猜想的强形式
The strong form of Van der Waerden's conjecture via twisted Chowla
- Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
- University of Warwick（华威大学）
- Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
- Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
- University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
- Princeton University（普林斯顿大学）
- Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
该研究假设扭曲函数域版乔拉猜想成立，通过改进平方筛法等方法，条件性解决n≥7时范德瓦尔登强猜想，将相关领域联系起来。
AI中文摘要：
一个世纪以来，确定随机多项式的性质一直是重要的研究方向，该领域的核心驱动力之一是范德瓦尔登1936年的论文。固定n≥3，令Eₙ(B)表示所有首一、不可约且非Sₙ型的多项式f=Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+…+aₙ的数量，其中所有系数aⱼ满足|aⱼ|≤B。Bhargava近期的突破性结果将Eₙ(B)的上界限定为≪Bⁿ⁻¹，这一结果成功解决了范德瓦尔登的原猜想，但留下了其强形式未解决，即Eₙ(B)=o(Bⁿ⁻¹)。受近期研究进展的启发，我们现在着手解决这一强形式问题。Bhargava的结果结合Chow和Dietmann的工作，本质上将范德瓦尔登强猜想简化为：具有Aₙ型伽罗瓦群的多项式f的数量为o(Bⁿ⁻¹)。假设扭曲函数域版本的乔拉（Chowla）猜想成立，我们证明了这一论断。这不仅将两个活跃且具有挑战性的研究领域联系起来，还在条件成立的情况下解决了所有n≥7时的范德瓦尔登强猜想。我们的证明基于Heath-Brown和Pierce平方筛法的变体以及q-范德科尔普特差分法。我们的方法也适用于计算非首一多项式的平方判别式的类似问题。除了阐述我们的新贡献外，我们还简要说明了范德瓦尔登论文中出现的各种猜想以及算术统计领域近期其他学者的部分重要工作。
英文摘要：
Determining the properties of a random polynomial has fuelled significant investigation over the past century. One driving force of this research is a 1936 paper of Van der Waerden. Fix $n \ge 3$ and let $E_n(B)$ be the number of monic, irreducible, non-$S_n$ polynomials $f = X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ with $|a_j| \leq B$ for all $j$. A recent breakthrough of Bhargava bounds $E_n(B) \ll B^{n-1}$. This spectacularly resolves a conjecture of Van der Waerden, but leaves open its stronger form, namely that $E_n(B) = o(B^{n-1})$. Inspired by recent progress, we now prove this stronger form for all $n \ge 40$. Bhargava's result, together with work of Chow and Dietmann, essentially reduces the strong Van der Waerden conjecture to the claim that the number of polynomials $f$ with Galois group $A_n$ is $o(B^{n-1})$. We connect this claim to Chowla's conjecture, an area driving major mathematical progress. Indeed, we formulate a twisted function field version of Chowla's conjecture, and show how Van der Waerden's conjecture reduces to this conjecture for $n \ge 8$. Finally, we make significant progress towards this twisted Chowla conjecture, leading to our resolution of the strong form of Van der Waerden's conjecture for all $n \geq 40$.
