中心弱离散黎曼梯度：黎曼优化的统一框架
Centered Weak Discrete Riemannian Gradients: A Unified Framework for Riemannian Optimization
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中文总结 AI 辅助
提出中心弱离散黎曼梯度（c-wDRG）框架，统一分析黎曼流形优化方法，推导收敛结果并开发加速方案，为相关方法提供显式步长条件与收敛速率。
中文摘要 AI 辅助
我们引入中心弱离散黎曼梯度（c-wDRG）框架，用于对黎曼流形上的优化方法进行统一分析。该框架利用中心点在公共切空间中表示相关对数差，涵盖黎曼最速下降、邻近点、邻近梯度、隐式中点、测地线平均向量场、Gonzalez及Itoh--Abe方法。我们为这些方案推导了c-wDRG证书，并利用显式度量失真边界建立了感知曲率的收敛结果。该框架在测地凸和强凸设置下，分别为非加速方法提供次线性和线性收敛；我们进一步开发了加速c-wDRG方案，在凸情形下获得加速次线性收敛，在强凸情形下获得加速线性收敛。我们的结果在统一框架内为黎曼一阶及离散梯度方法提供了显式依赖曲率的步长条件和收敛速率。
英文摘要
We introduce the centered weak discrete Riemannian gradient (c-wDRG) framework for the unified analysis of optimization methods on Riemannian manifolds. The framework uses a center point to represent the relevant logarithmic differences in a common tangent space and covers Riemannian steepest descent, proximal point, proximal gradient, implicit midpoint, geodesic average-vector-field, Gonzalez, and Itoh--Abe methods. We derive c-wDRG certificates for these schemes and establish convergence bounds with explicit curvature-dependent step-size conditions. Under suitable c-wDRG parameter and step-size conditions, nonaccelerated schemes achieve \(O(k^{-1})\) or linear convergence of the objective gap. We further develop accelerated c-wDRG schemes with \(O(k^{-2})\) or accelerated linear convergence under the respective parameter conditions. Numerical experiments support the theoretical convergence results.
发表机构
- National Institute of Informatics（信息处理学会）
- The Graduate University for Advanced Studies, SOKENDAI（综合研究大学院大学）
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