AI 中文总结
该研究针对广义Benjamin–Bona–Mahony方程，证明在负临界端点速度下，满足特定参数条件的孤立波具有轨道不稳定性，证明结合了余维二coercivity估计、两参数调制与修正局部位势泛函。
AI 中文摘要
我们研究广义Benjamin–Bona–Mahony方程孤立波的轨道稳定性，该方程为$$ u_t+u_x+κ\frac{p+1}{2}(u^p)_x-u_{txx}=0, \qquad (t,x)\in\mathbb R^+\times\mathbb R, $$其中$κ\in\mathbb R\setminus\{0\}$，$p\geq2$为整数。该方程存在形如$$ u(t,x)=ϕ_c(x-ct) $$的孤立波。在负临界端点速度$$ c=c_p^-= \frac{p-1}{2(p+1)} \left(1-\sqrt{\frac{p+3}{2}}\right)<0 $$下，我们证明当$κ<0$，或$κ>0$且$p$为偶数时，对应的孤立波是轨道不稳定的。证明结合了余维二 coercivity 估计、两参数调制，以及适配于端点处动量斜率退化性的修正局部位势泛函。
英文摘要
We study the orbital stability of solitary waves to the generalized Benjamin--Bona--Mahony equation $$ u_t+u_x+κ\frac{p+1}{2}(u^p)_x-u_{txx}=0, \qquad (t,x)\in\mathbb R^+\times\mathbb R, $$ where $κ\in\mathbb R\setminus\{0\}$ and $p\geq2$ is an integer. This equation admits solitary waves of the form $$ u(t,x)=ϕ_c(x-ct). $$ At the negative critical endpoint speed $$ c=c_p^-= \frac{p-1}{2(p+1)} \left(1-\sqrt{\frac{p+3}{2}}\right)<0, $$ we prove that the corresponding solitary wave is orbitally unstable whenever either $κ<0$, or $κ>0$ and $p$ is even. The proof combines a codimension-two coercivity estimate, two-parameter modulation, and a corrected localized virial functional adapted to the degeneracy of the momentum slope at the endpoint.
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