形如 $y^3=x^{(q^2+1)/2}+x$ 的极大曲线与极小曲线
Maximal and minimal curves of the form $y^3=x^{(q^2+1)/2}+x$
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中文总结 AI 辅助
本文研究有限域上形如 $y^3=x^{(q^2+1)/2}+x$ 的曲线，通过双有理库默尔模型与雅可比和计数得到其有理点个数公式，确定其极大/极小曲线属性，并给出无穷族极大曲线的首个案例。
中文摘要 AI 辅助
设 $p\ge5$ 为满足 $p\equiv -1\pmod 3$ 的素数，令 $q=p^r$，考虑有限域 $\F_{q^6}$ 上的曲线 $\cC:\\ y^3=x^{(q^2+1)/2}+x$。我们证明了精确公式 $\\#\cC(\F_{q^6})=q^6+1+(-1)^{r+1}(q^2-1)q^3$。由于该曲线的亏格 $g(\cC)=(q^2-1)/2$，故当 $r$ 为奇数时该曲线为极大曲线，$r$ 为偶数时为极小曲线。证明使用了双有理库默尔模型与显式雅可比和计数，结合同余与弗罗贝尼乌斯不变性将相关雅可比和约化为三次高斯和，其符号由费马三次曲线确定。特别地，$y^3=x^{13}+x$ 在 $\F_{5^6}$ 上的极大性是该无穷族的首个案例。
英文摘要
Let $p\ge 5$ be a prime with $p\equiv -1\pmod 3$, let $q=p^r$, and consider \[ \cC:\qquad y^3=x^{(q^2+1)/2}+x \] over $\F_{q^6}$. We prove the exact formula \[ \#\cC(\F_{q^6})=q^6+1+(-1)^{r+1}(q^2-1)q^3. \] Since $g(\cC)=(q^2-1)/2$, the curve is maximal when $r$ is odd and minimal when $r$ is even. The proof uses a birational Kummer model and an explicit Jacobi-sum point count. A congruence together with Frobenius invariance reduces the relevant Jacobi sums to cubic Gauss sums, whose sign is determined from the Fermat cubic. In particular, the maximality of $y^3=x^{13}+x$ over $\F_{5^6}$ appears as the first case of an infinite family.
