托勒密负型与q(6)和q(7)的值
Ptolemaic negative type and the values q(6) and q(7)
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本文基于Baker等人定义的三角超域阈值q(n)的恒等式，证明了q(6)=log₂(9/4)、q(7)=1，还通过符号模式分离等方法推导了对应不等式，构造了保持负型二次型的对合系数变换并得到相关反例与界。
中文摘要 AI 辅助
Baker、Huh、Kummer和Lorscheid定义了三角超域阈值q(n)=q(U_{2,n})，并对所有n提出了精确值的猜想。利用恒等式q(n)=P(n-1)（其中P(m)是m点托勒密度量的通用负型指数），我们证明了q(6)=log₂(9/4)且q(7)=1。对于5个点，我们通过符号模式分离零和系数向量：针对1+4模式，利用严格的二求和项不等式证明所需不等式；针对2+3模式，借助严格的四点偏相关界和精确的余正性恒等式证明所需不等式。对于6个点，我们在度量反转下构造了一个对合系数变换，该变换保持负型二次型；在具有正局部贡献的索引处应用该变换，可将假设的3+3反例转化为2+4反例；完全分裂图度量达到这两个界。
英文摘要
Baker, Huh, Kummer, and Lorscheid define the triangular-hyperfield threshold q(n)=q(U_{2,n}) and conjecture exact values for all n. Using their identity q(n)=P(n-1), where P(m) is the universal negative-type exponent of m-point Ptolemaic metrics, we prove q(6)=\log_2(9/4) and q(7)=1. For five points, we separate zero-sum coefficient vectors by sign pattern. A sharp two-summand inequality proves the inequality for the 1+4 pattern. For the 2+3 pattern, a sharp four-point partial-correlation bound and an exact copositivity identity prove the required inequality. For six points, we construct an involutive coefficient transport under metric inversion that preserves the negative-type quadratic form. Applying the transport at an index with positive local contribution converts a hypothetical 3+3 counterexample into a 2+4 counterexample. Complete split graph metrics attain both bounds.
