AI 中文总结
针对满足 $N \equiv 1 \bmod p$ 的素数 $p, N \geq 5$，证明了级 $N$ 和 $N^2$ 下权为2的 $p$ 进赫克代数艾森斯坦局部化的模性定理，关联通用伪形变环的对应商环。
AI 中文摘要
设 $p, N \geq 5$ 为满足 $N \equiv 1 \bmod p$ 的素数，我们证明了级 $N$ 和 $N^2$ 下的模性定理，表明这些级下权为2的 $p$ 进赫克代数的合适艾森斯坦局部化，同构于通用伪形变环的某些自然商环。该通用环参数化剩余艾森斯坦、在 $Np$ 外非分歧且在 $p$ 处有限平坦的伪表示，并根据级在 $N$ 处满足适当条件。
英文摘要
Let $p, N \geq 5$ be primes such that $N \equiv 1 \bmod p$. We prove modularity theorems at levels $N$ and $N^2$, showing that suitable Eisenstein localizations of the weight-$2$ $p$-adic Hecke algebra at these levels are isomorphic to certain natural quotients of a universal pseudodeformation ring. This universal ring parametrizes pseudorepresentations that are residually Eisenstein, unramified outside $Np$ and finite-flat at $p$, and satisfy appropriate conditions at $N$ depending on the level.
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