AI 中文总结
本文针对复 Ginibre 系综，在已有依概率收敛结果的基础上，进一步证明了相关尺度化量依分布收敛于 Gumbel 随机变量，并明确给出了 $\beta_n$ 的表达式。
AI 中文摘要
设 $M_n(B)$ 为 $n \times n$ 复 Ginibre 矩阵的特征值中，位于单位圆盘内紧固定体集 $B$（平面面积为 $|B|$）的特征值到其最近另一特征值的最大距离，该矩阵元素方差为 $1/n$。Lopatto 和 Otto 证明了 $\sqrt{n} M_n(B)/(4\log n)^{1/4}$ 依概率收敛于 1。本文证明 $\beta_n^{3/4}\bigl(\sqrt{n}\\,M_n(B)-\beta_n^{1/4}\bigr)$ 依分布收敛于 Gumbel 随机变量，并明确给出了 $\beta_n$ 的表达式。
英文摘要
Let $M_n(B)$ be the largest distance from an eigenvalue of an $n\times n$ complex Ginibre matrix, with entries of variance $1/n$, lying in a fixed bulk set $B$ compactly contained in the unit disk and of planar area $|B|$, to its nearest other eigenvalue. Lopatto and Otto proved that $ \sqrt{n} M_n(B)/(4\log n)^{1/4} \to 1$ in probability. Here we prove that $β_n^{3/4}\bigl(\sqrt n\,M_n(B)-β_n^{1/4}\bigr)$ converges in distribution to a Gumbel random variable, and we determine $β_n$ explicitly.
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