严格单调变换的广义逆
Generalized inverses of strictly monotone transformations
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中文总结 AI 辅助
本文针对凸集上的严格单调映射，利用凸几何与分析定理证明其逆函数存在唯一单调连续的左逆延拓，并将其应用于引入向量值加权拟算术平均概念并探讨其等式问题。
中文摘要 AI 辅助
设 $ C \subseteq \mathbb{R}^n $ 为凸集，映射 $ f: C \longrightarrow \mathbb{R}^n $ 是严格递增的，当且仅当对所有 $ C $ 中不同元素 $ x,y $，满足 $ \langle f(x)-f(y), x-y \rangle > 0 $。运用有限维凸几何与凸分析的经典定理，我们证明该逆函数存在唯一的延拓 $ f^{(-1)}: \mathrm{conv} (f(C)) \longrightarrow C $，使得 $ f^{(-1)} $ 是单调、连续的，且是 $ f $ 的左逆。作为应用，我们引入向量值加权拟算术平均的概念，并讨论其等式问题。
英文摘要
Let $ C \subseteq \mathbb{R}^n $ be a convex set. The mapping $ f : C \longrightarrow \mathbb{R}^n $ is strictly increasing, if $ \langle f(x)-f(y), x-y \rangle > 0 $ for all distinct elements $ x,y \in C $. Applying classical theorems of finite dimensional convex geometry and convex analysis, we show that the inverse functions has a unique extension $ f^{(-1)} : \mathrm{conv} (f(C)) \longrightarrow C $ such that $ f^{(-1)} $ is monotone, continuous and it acts as a left-inverse of $ f $. As an application we introduce the concept of vector-valued weighted quasi-arithmetic means and discuss their equality problem.
