AI 中文总结
该研究针对满足Ric≥(n-1)g的闭n维黎曼流形上的一类p-拉普拉斯型方程，证明当1<p<2时λ^{1/(q-p)}为唯一正解，p>2时解不唯一，解决了Véron提出的问题。
AI 中文摘要
我们研究闭n维黎曼流形(M,g)上的一类p-拉普拉斯方程Δ_p u - λ u^{p-1} + u^{q-1}=0，其中Ric≥(n-1)g。对于1<p<2、p<q<p^*且0<λ<S_{p,q}^{-1}（S_{p,q}=(q-p)/2·(p/n)^{p/2}·[(p^*-1)²(2-p)/((p_*-1)(q-1)(p^*-q))]^{(2-p)/2}，p_*=(n-1)p/(n-p)，p^*=np/(n-p)），我们证明λ^{1/(q-p)}是该方程的唯一正解。相反，对于p>2且p<q<p^*，对任意λ>0解的唯一性不成立；除常数解外，方程还存在正的非常数解。这回答了Véron在文献[Ver92]中提出的问题。
英文摘要
We study a class of $p$-Laplace equations $$Δ_p u-λu^{p-1}+ u^{q-1}=0$$ on a closed $n$-dimensional Riemannian manifold $(M,g)$ with $\operatorname{Ric}\geqslant(n-1)g$. For $1<p<2$, $p<q<p^*$, and $0<λ<S_{p,q}^{-1}$, where $$S_{p,q}=\frac{q-p}{2}(\frac p n)^{\frac p 2}\Big(\frac{(p^*-1)^2(2-p)}{(p_*-1)(q-1)(p^*-q)}\Big)^{\frac{2-p}{2}},$$ with $p_*=\frac{(n-1)p}{n-p}$ and $p^*=\frac{np}{n-p}$, we prove that the constant $λ^{\frac{1}{q-p}}$ is the unique positive solution of the equation. In contrast, for $p>2$ and $p<q<p^*$, the uniqueness fails for every $λ>0$; aside from the constant solution, the equation admits a positive nonconstant solution. This answers Véron's problem raised in \cite{Ver92}.
