Hardy空间上的广义Hilbert算子的范数
Norm of the generalized Hilbert operator on Hardy spaces
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该研究确定了广义Hilbert算子在Hardy空间\\( H^p \\)（\\( 1\leq p\leq \infty \\)）上的精确算子范数，证明其在\\( H^1 \\)上有界并得到相关范数估计，补充了经典Hilbert算子的相关结论。
中文摘要 AI 辅助
我们研究广义Hilbert算子\\( \mathcal{H}_b f(z)=\int_0^1 f(t)\\,\frac{(1-t)^b}{(1-tz)^{b+1}}\\,dt \\)（其中\\( b>0 \\)）在Hardy空间\\( H^p \\)（\\( 1\leq p\leq \infty \\)）上的作用。对每个\\( 1<p<\infty \\)，我们确定其精确算子范数\\( \\|\mathcal{H}_b\\|_{H^p\to H^p}=B\left(\frac1p,b+1-\frac1p\right) \\)，且通过连续延拓到\\( b=0 \\)，得到经典范数\\( \pi/\sin(\pi/p) \\)。我们还证明对每个\\( b>0 \\)，\\( \mathcal{H}_b \\)在\\( H^1 \\)上有界，这与经典Hilbert算子不同，并得到精确限制范数估计\\( \\|\mathcal{H}_b\\|_{H^1_0\to H^1}=B(1,b) \\)，同时确定精确范数\\( \\|\mathcal{H}_b\\|_{H^\infty\to \mathcal B}=\frac{1}{b+1}+2 \\)。
英文摘要
We study the generalized Hilbert operator \[ \mathcal{H}_b f(z)=\int_0^1 f(t)\,\frac{(1-t)^b}{(1-tz)^{b+1}}\,dt, \qquad b>0, \] acting on the Hardy spaces $H^p$ for $1\leq p\leq \infty$. We establish the precise operator norm \[ \|\mathcal{H}_b\|_{H^p\to H^p}=B\!\left(\frac1p,b+1-\frac1p\right) \] for every $1<p<\infty$ and, by continuous extension to $b=0$, recover the classical norm $π/\sin(π/p)$. We also prove that $\mathcal{H}_b$ is bounded on $H^1$ for every $b>0$, in contrast with the classical Hilbert operator, and we obtain the sharp restricted norm estimate \[ \|\mathcal{H}_b\|_{H^1_0\to H^1}=B(1,b). \] We also determine the exact norm \[ \|\mathcal{H}_b\|_{H^\infty\to \mathcal B}=\frac{1}{b+1}+2. \]
