AI 中文总结
该研究针对在CAT(-1)空间上作用的离散等距子群，证明了临界指数小于1时其与极限集豪斯多夫维数的关系，得出极限集为康托集的结论，并应用该结果回答了Kapovich关于几何有限自由子群的问题。
AI 中文摘要
我们证明，对于在真CAT(-1)空间X上作用的离散等距子群，若其临界指数小于$1$，则该临界指数等于整个极限集的豪斯多夫维数；由此可得，该极限集必为康托集。作为应用，我们证明Isom(X)中任何临界指数小于1的有限生成无挠离散子群必是几何有限且自由的，这回答了Kapovich提出的一个问题。
英文摘要
We show that for a discrete isometry subgroup acting on a proper CAT(-1) space X, if the critical exponent is less than $1$, then the critical exponent equals the Hausdorff dimension of the entire limit set. Consequently, the limit set must be a Cantor set. As an application, we prove that any finitely generated, torsion-free discrete subgroup in Isom(X) with critical exponent less than one must be geometrically finite and free. This answers a question of Kapovich.
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