AI 中文总结
本文针对布加德-若雷猜想构造了反例，确定了边界 $n=\alpha+k$ 上的最小边数函数值，刻画了该边界的极图，最小反例参数为 $(7,3,4)$。
AI 中文摘要
对于可容许整数 $n,\alpha,k$，设 $f(n,\alpha,k)$ 是阶为 $n$、独立数为 $\alpha$ 的 $k$ 连通图的最小边数。布加德（Bougard）和若雷（Joret）的一项猜想预测，当满足 $n\geq2\alpha$、$n\geq\alpha+k$、$\alpha\geq2$ 且 $k\geq3$，且 $n\leq k\alpha$ 时，$f(n,\alpha,k)=\lceil nk/2\rceil$。我们反驳了该预测，确定了边界 $n=\alpha+k$ 上的 $f(n,\alpha,k)$，并刻画了该边界上的所有极图。特别地，对于每个 $k\geq4$，$f(2k-1,k-1,k)=k^2-1$，而猜想值为 $k^2-\lfloor k/2\rfloor$。该族的极图恰好是 $\overline K_{k-1}\join T$，其中 $T$ 是任意阶为 $k$ 的树。最小阶反例的参数为 $(n,\alpha,k)=(7,3,4)$，且不存在阶更小的可容许反例。
英文摘要
For admissible integers $n,α,k$, let $f(n,α,k)$ be the minimum number of edges in a $k$-connected graph of order $n$ and independence number $α$. A conjecture of Bougard and Joret predicts that $f(n,α,k)=\lceil nk/2\rceil$ when $n\leq kα$, under the assumptions $n\geq2α$, $n\geqα+k$, $α\geq2$, and $k\geq3$. We disprove this prediction, determine $f(n,α,k)$ throughout the boundary $n=α+k$, and characterize every extremal graph on that boundary. In particular, for every $k\geq4$, \[ f(2k-1,k-1,k)=k^2-1, \] whereas the conjectured value is $k^2-\lfloor k/2\rfloor$. The extremal graphs in this family are precisely $\overline K_{k-1}\join T$, where $T$ is an arbitrary tree of order $k$. The smallest-order failure has parameters $(n,α,k)=(7,3,4)$, and no admissible counterexample has smaller order.
Comments12 pages, 2 figures
