关于拟阵多面体的计数
On the enumeration of polymatroids
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- Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）
- Hanyang University（汉阳大学）
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中文总结 AI 辅助
该论文研究 $k$-拟阵多面体的计数问题，给出其数量的对数上下界，并证明 $k \geq 2$ 时几乎所有此类多面体具有连通、真、不可线性表示的性质。
中文摘要 AI 辅助
设 $p_k(n)$ 为集合 $[n]$ 上 $k$-拟阵多面体的数量，我们证明对每个固定的 $k \geq 1$，有 $\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor \cdot \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \cdot (1+o(1)) \le \log_2 p_k(n) \le k \cdot \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \cdot (1+o(1))$。还证明当 $k \geq 2$ 时，几乎所有 $k$-拟阵多面体都是连通的、真的，且不能在任何域上线性表示。
英文摘要
Let $p_k(n)$ be the number of $k$-polymatroids on $[n]$. We show that for every fixed $k \geq 1$, we have \[ \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor \cdot \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \cdot (1+o(1)) \le \log_2 p_k(n) \le k \cdot \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \cdot (1+o(1)). \] We also show that for $k \geq 2$, almost all $k$-polymatroids are (i) connected, (ii) proper, and (iii) not linearly representable over any field.
