基于Stein方法的极值定理收敛速率
Convergence rates for the extreme value theorem via Stein's method
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中文总结 AI 辅助
本文利用Stein方法的无穷小生成元途径，结合最新的马尔可夫半群族，提出两种方法推导极值定理中重标度最大值对Fréchet分布逼近的收敛速率，覆盖多种距离及矩的收敛结果。
中文摘要 AI 辅助
我们推导了极值定理中经重标度的最大值序列对参数α>0的Fréchet分布$\u2702(α)$逼近的收敛速率。我们的证明依托于将Stein方法的无穷小生成元方法应用于极大稳定分布，使用了文献\textit{CostacequePhD, Costaceque24}中最新提出的马尔可夫半群族。我们提出了两种计算收敛速率的不同方法：第一种基于二阶正则变化假设，第二种要求基础分布存在密度函数。具体而言，第一种方法得到的界用Kolmogorov距离表示，当α>1时还可用Wasserstein距离表示；第二种方法还能给出α∈(0,1)时光滑Hölder距离下的收敛速率。在两种情形下，若矩存在，我们还得到了矩的收敛速率。
英文摘要
We derive convergence rates for the approximation of the Fréchet distribution $\mathcal{F}(α)$ with parameter $α> 0$ by sequences of renormalized maxima in the extreme value theorem. Our proofs rely on the application of the infinitesimal generator approach to Stein's method to max-stable distributions, using the family of Markov semi-groups recently introduced in \cite{CostacequePhD, Costaceque24}. We develop two different approaches to compute rates of convergence; the first one relies on the second-order regular variation assumption, while the second one requires the existence of a density function for the base distribution. In particular, with the first approach, our bounds are expressed using the Kolmogorov distance, and the Wasserstein distance when $α> 1$. The second approach allows also rates for a smooth H{ö}lder distance when $α\in (0,1)$. In both cases, we also obtain convergence rates for moments when they exist.
