关于Kac游走的伪混合性
On the Pseudo-Mixing of Kac's Walk
- Harvard（哈佛大学）
- uOttawa（渥太华大学）
- TIMC（TIMC机构）
- MIT（麻省理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文针对SO(n)上Kac游走的伪混合性展开研究，证明其前k列的混合步数，解决了Oliveira的猜想，并将该结果应用于证明快速Johnson-Lindenstrauss变换的有效性。
AI中文摘要：
受Vaikuntanathan和Zamir的一个猜想启发，我们研究SO(n)上Kac游走的伪混合性，即短轨迹是否无法通过低复杂度测试与Haar测度区分。我们证明，在固定精度下，前k列在Wasserstein距离中以O(n(k+log n)log n)步长完成混合，解决了Oliveira的一个猜想。结合表示论方差界，我们表明若T=ω(nk(k+log n)log n)，则每个归一化后Haar方差为1的k次多项式，在T步法则下的期望与其Haar期望的差在o(1)范围内。作为应用，我们证明该伪混合估计可用于证明具有常规目标维度的快速Johnson-Lindenstrauss变换的有效性。
英文摘要：
Motivated by a conjecture of Vaikuntanathan and Zamir, we study the pseudo-mixing of Kac's walk on $\mathrm{SO}(n)$: whether short trajectories are indistinguishable from Haar measure by low-complexity tests. We prove that the first $k$ columns mix in Wasserstein distance in $O(n(k+\log n)\log n)$ steps for fixed accuracy, resolving a conjecture of Oliveira. Combining this with a representation-theoretic variance bound, we show that if $T=ω(nk(k+\log n)\log n)$, then every degree-$k$ polynomial normalized to have unit Haar variance has expectation under the $T$-step law within $o(1)$ of its Haar expectation. As an application, we show that this pseudo-mixing estimate can be used to prove the effectiveness of a fast Johnson--Lindenstrauss transform with the usual target dimension.
