针对部分受限三元算术 progression（3-AP）的计数引理
A Counting Lemma for Somewhat Restricted 3-APs
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中文总结 AI 辅助
该研究针对有限域向量空间F_p^n中的部分受限三元算术 progression（3-AP），结合Bhangale等人的工具，提出并证明了适用于稠密集合的计数引理，丰富了算术正则性引理相关理论。
中文摘要 AI 辅助
对于素数p≥3，有限域向量空间F_p^n中的部分受限三元算术 progression（3-AP）是形如(x, x+a, x+2a)的三元组，其中x∈F_p^n，a∈{0,1,2}^n。我们证明了F_p^n中稠密集合内部分受限3-AP的计数引理。更确切地说，我们证明：对任意α>0，存在β>0，使得当n足够大时，若集合A⊆F_p^n的密度至少为α，则A包含至少β比例的所有部分受限3-AP。我们的证明基于Bhangale、Khot、Minzer（2026）近期开发的工具，主要新内容是针对部分受限3-AP这类模式的算术正则性引理，该结果遵循Gowers一致性范数理论中Green和Tao（2010）的算术正则性引理的思路，可能具有独立研究价值。
英文摘要
For a prime $p\geq 3$, a somewhat restricted $3$-AP in $\mathbb{F}_p^n$ is a triplet $(x,x+a,x+2a)$, where $x\in\mathbb{F}_p^n$ and $a\in \{0,1,2\}^n$. We prove a counting lemma for somewhat restricted $3$-APs in dense sets in $\mathbb{F}_p^n$. More precisely, we prove that for all $α>0$, there exists $β>0$, such that for sufficiently large $n$, if a set $A\subseteq \mathbb{F}_p^n$ has density at least $α$, then it contains at least $β$ fraction of all somewhat restricted $3$-APs. Our proof builds on recently developed machinery from [Bhangale, Khot, Minzer, 2026]. Our main new ingredient is an arithmetic regularity lemma for patterns such as somewhat restricted 3-APs. This result is in the spirit of arithmetic regularity lemmas from the theory of Gowers uniformity norms [Green, Tao, 2010] and may be of independent interest.
