AI 中文总结
该研究针对零均值单位方差的独立同分布格点随机变量，建立了Rényi散度意义下的中心极限定理，推导了散度的任意阶Edgeworth型渐近展开，补充了连续随机变量Rényi熵中心极限定理的格点对应结果。
AI 中文摘要
针对零均值、单位方差且最大跨度为h>0的独立同分布格点随机变量X₁,…,Xₙ，我们建立了Rényi散度意义下的中心极限定理。令Sₙ=(X₁+…+Xₙ)/√n，Zₙ表示在S_n的支撑格点上量化的标准高斯分布。对任意α>1，取β=α/(α-1)，我们证明：当且仅当某一卷积水平下的散度有限，且严格次高斯条件Ee^(tX)<e^(βt²/2)（t∈ℝ，t≠0）成立时，Rényi散度D_α(S_n∥Z_n)→0。在这些条件下，我们进一步推导出该散度的任意阶Edgeworth型渐近展开。这些结果为Bobkov、Chisyakov和Götze（发表于《Ann. Probab.》第47卷，2019年，第270-323页）针对连续随机变量提出的Rényi熵中心极限定理提供了格点版本。
英文摘要
We establish a central limit theorem in Rényi divergence for independent and identically distributed lattice random variables $X_1, \cdots, X_n$ with zero mean, unit variance, and maximal span $h>0$. Let $S_n=(X_1+\cdots+X_n)/\sqrt n$. Let $Z_n$ denote the standard Gaussian distribution quantized on the support lattice of $S_n$. For every $α>1$, with $β=α/(α-1)$, we prove that the Rényi divergence $D_α(S_n\|Z_n)\to 0$ if and only if the divergence is finite at some convolution level and the strict sub-Gaussian condition $$ \mathbb E e^{tX}<e^{βt^2/2},\quad t\in\mathbb R,~ t\ne0 $$ holds. Under these conditions, we further derive an Edgeworth-type asymptotic expansion of the divergence to arbitrary order. These results provide a lattice counterpart of the Rényi entropic central limit theorem for continuous random variables due to Bobkov, Chisyakov and Götze (\emph{Ann. Probab.} \textbf{47} (2019), 270--323).
