非扩张映射的马尔可夫 Halpern 迭代的巴拿赫空间理论
A Banach-Space Theory of Markovian Halpern Iteration for Non-Expansive Maps
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- Elmore Family School of Electrical and Computer Engineering, Purdue University（普渡大学埃尔莫尔家族电气与计算机工程学院）
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中文总结 AI 辅助
本文针对马尔可夫轨迹下非扩张算子不动点的随机逼近问题，提出方差缩减的马尔可夫 PAGE-Halpern 方法，在巴拿赫空间等场景下降低了样本复杂度并建立了高概率保证。
中文摘要 AI 辅助
我们研究当 oracle 样本来自连续马尔可夫轨迹时，非扩张算子不动点的随机逼近问题。Halpern 迭代的直接分块小批量实现可达到阶为 O(log N/N) 的期望最后迭代残差，但会产生约 O(ε⁻⁵) 的马尔可夫样本的显著复杂度。因此，我们引入了一种方差缩减的马尔可夫 PAGE-Halpern 方法，其刷新和同态差分块通过泊松方程进行分析。在希尔伯特空间中，I-T 的余强制特性可得到 O(ε⁻³) 的样本复杂度。我们的主要结果将该构造扩展到一般有限维巴拿赫空间，位移级 Halpern 界替代了希尔伯特空间势，并在原始非扩张范数下产生约 O(ε⁻³) 的样本复杂度。我们还通过在辅助光滑范数下测量估计量，建立了具有相同主导精度依赖的高概率保证，通过范数平滑覆盖了非光滑 sup 和块-sup 几何。
英文摘要
We study stochastic approximation of fixed points of a non-expansive operator $T$ when the oracle samples originate from a continuing Markovian trajectory. A direct block-minibatch implementation of Halpern iteration attains an expected last-iterate residual of order $O(\log N/N)$, but accrues a substantive complexity of $\tilde O(ε^{-5})$ Markovian samples. We therefore introduce a variance-reduced Markovian PAGE-Halpern method whose refresh and same-state difference blocks are analyzed through the Poisson equation. In Hilbert spaces, the cocoercivity of $I-T$ results in an $O(ε^{-3})$ sample complexity. Our main result extends this construction to a general finite-dimensional Banach space. A displacement-level Halpern bound replaces the Hilbert-space potential and yields $\tilde O(ε^{-3})$ sample complexity. We also establish a high-probability guarantee with the same leading accuracy dependence by measuring the estimator in an auxiliary smooth norm.
