n×kn网格与沙堆模型中的Loehr-Remmel双射
A Loehr-Remmel bijection in the $n \times kn$ grid and sandpiles
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中文总结 AI 辅助
该研究推广Loehr-Remmel双射与统计量，证明∇^k e_n的新组合公式，给出一类图沙堆模型的recurrent构型描述，结合delay与level统计量解释相关多项式，k=1时对应已有成果。
中文摘要 AI 辅助
我们将Loehr与Remmel的pmaj统计量推广到n×kn网格上的带标记Dyck路径，并推广了他们将双统计量(dinv, area)映射为(area, pmaj)的双射，由此证明了∇^k e_n（k≥1）的一个新组合公式。当k=1时，我们得到原始统计量与原始双射。此外，我们对一族图G_{μ,ν}^{(k)}的沙堆模型的 recurrent configurations（ recurrent配置，即 recurrent构型）给出了明确描述，该族图由整数k≥1与两个组合μ、ν索引：当k=1时，这些图是D'Adderio等人研究的团-独立图。最后，我们在这些构型上定义了delay统计量，并证明其与常规level统计量结合，可用于对(n,kn)洗牌定理中的多项式⟨∇^k e_n,e_μ h_ν⟩给出新的组合解释；当k=1时，我们得到D'Adderio等人的主要结果。
英文摘要
We extend the $\mathsf{pmaj}$ statistic of Loehr and Remmel to labelled Dyck paths in the $n \times kn$ grid, and generalize their bijection sending the bistatistic $(\mathsf{dinv},\mathsf{area})$ to $(\mathsf{area}, \mathsf{pmaj})$, proving in this way a new combinatorial formula for $\nabla^k e_n$ ($k \geq 1$). At $k = 1$ we recover the original statistic and the original bijection. Moreover, we provide an explicit description of the recurrent configurations of the sandpile model on a family of graphs $G_{μ, ν}^{(k)}$, indexed by an integer $k \geq 1$ and two compositions $μ$ and $ν$: at $k = 1$ these are the clique-independent graphs of D'Adderio et al. Finally, we define a $\mathsf{delay}$ statistic on these configurations, and we show that, together with the usual level statistic, it can be used to provide a new combinatorial interpretation of the polynomials $\langle \nabla^k e_n,e_μh_ν\rangle$ from the $(n,kn)$-shuffle theorem. At $k = 1$ we recover the main results of D'Adderio et al.
