AI 中文总结
该研究证明了带状多面体上的ℓ_p范数最大化问题是W[1]-困难的，排除了其在指数时间假设下的亚指数时间算法，还给出了确定性近似算法并将结果推广到两层ReLU网络。
AI 中文摘要
我们研究由有理生成元给出的带状多面体上的ℓ_p范数最大化问题，输入长度为L。对于固定的p=a/b>1，精确图灵基线算法的运行时间为n^{O(d)}b^{O(d)}poly(L)，但环境维度d下的固定参数可处理性是未解决问题[FGHS25]。我们通过用归一化正帽生成元编码二元CSP约束，证明了其W[1]-困难性，并且在指数时间假设（ETH）下，即使对于5-稀疏生成元，也排除了ρ_p(d)L^{o(d)}时间的存在。我们还给出了一个确定性(1-ε)-近似算法，其依赖关系为ε^{-(d-1)/2}，并且在对L具有固定度多项式依赖的算法中，在ETH下排除了(1/ε)^{o(d)}的依赖关系。支撑函数对偶性将这些结果推广到正输出的两层ReLU网络。
英文摘要
We study $\ell_p$-norm maximization over zonotopes given by rational generators, with input length $L$. For fixed $p=a/b>1$, the exact Turing baseline runs in $n^{O(d)}b^{O(d)}\mathrm{poly}(L)$ time, but fixed-parameter tractability in the ambient dimension $d$ was open [FGHS25]. We prove W[1]-hardness and, under the Exponential Time Hypothesis (ETH), exclude $ρ_p(d)L^{o(d)}$ time, even for $5$-sparse generators, by encoding binary CSP constraints with normalized positive cap generators. We also give a deterministic $(1-\varepsilon)$-approximation with $\varepsilon^{-(d-1)/2}$ dependence and, among algorithms with fixed-degree polynomial dependence on $L$, rule out $(1/\varepsilon)^{o(d)}$ dependence under ETH. Support-function duality transfers the results to positive-output two-layer ReLU networks.
