AI 中文总结
该研究提出几何函数图谱软件系统，用于记录和研究Ma--Minda类的有向半径与系数问题，恢复了216个Fekete--Szegő值，证明19个精确锐包含半径并修正了已有结果。
AI 中文摘要
设$\D=\{z\in\C:|z|<1\}$，$\mathcal A$是满足规范化条件$f(0)=0$且$f'(0)=1$的解析函数类。对于容许的Ma--Minda生成元$\boldsymbol{\u03c6}$，记$\bSstar{\u03c6}=\{f\in\mathcal A:zf'(z)/f(z)\u227a\u03c6(z)\}$。给定两个生成元$\u03c6_1$和$\u03c6_2$，我们研究最大的$R\in(0,1]$，使得当$f\in\bSstar{\u03c6_1}$且$0<r\u2264 R$时，$f(rz)/r\in\bSstar{\u03c6_2}$。\n我们提出几何函数图谱（Geometric Function Atlas），这是一个软件系统，通过精确的生成元、参数域、规范化条件和锐度陈述来记录这些有向半径问题与系数问题。这种表示方式能识别不同名称和译法下的同一函数类，同时区分包含问题的两个方向。系数引擎恢复了36个已注册类中由通用Ma--Minda公式预测的全部216个Fekete--Szegő值。有向半径图谱包含702个有序比较；若忽略方向，在262个双向表示的类对族中，有253个会合并不相等的常数。利用边界接触、解析控制函数和显式Ma--Minda极值函数，我们证明了19个精确的锐包含半径。特别地，正弦到修正S型函数的半径为$\u03b1\u03c1\u03c3\u03b9\u03bd((e-1)/(e+1))$，比已发表的充分半径$\u03b1\u03c2\u03b9\u03bd\u03b8((e-1)/(e+1))$提高了7.45%。对于新月形类和指数类，互反锐半径分别为$\u03c3\u03b9\u03bd1$和$\u03bb\u03bf\u03b3(1+\u221a2)$；后者修正了一个已发表的常数。本文附带Python包、精确证明凭证和注册表记录。
英文摘要
Let $\D=\{z\in\C:|z|<1\}$, and let $\mathcal A$ be the class of analytic functions normalized by $f(0)=0$ and $f'(0)=1$. For an admissible Ma--Minda generator $φ$, write $\Sstarφ=\{f\in\mathcal A:zf'(z)/f(z)\precφ(z)\}$. Given two generators $φ_1$ and $φ_2$, we study the largest $R\in(0,1]$ for which $f(rz)/r\in\Sstar{φ_2}$ whenever $f\in\Sstar{φ_1}$ and $0<r\le R$. We present the Geometric Function Atlas, a software system that records these directed radius problems and coefficient problems by their exact generators, parameter domains, normalizations, and sharpness statements. This representation identifies the same class across alternative names and transliterations while keeping the two directions of an inclusion problem distinct. The coefficient engine recovers all 216 Fekete--Szegő values predicted by the general Ma--Minda formula across 36 registered classes. The directed-radius atlas contains 702 ordered comparisons; omitting direction merges unequal constants in 253 of the 262 class-pair families represented in both directions. Using boundary contact, analytic majorants, and explicit Ma--Minda extremals, we prove nineteen exact sharp inclusion radii. In particular, the sine-to-modified-sigmoid radius is $\arcsin((e-1)/(e+1))$, improving the published sufficient radius $\operatorname{arsinh}((e-1)/(e+1))$ by 7.45\%. For the crescent and exponential classes, the reciprocal sharp radii are $\sin1$ and $\log(1+\sqrt2)$; the latter corrects a published constant. The Python package, exact certificates, and registry records accompany the paper.
