具有切比雪夫性质系数的广义阿贝尔方程的极限环数目
On the Number of Limit Cycles in Generalized Abel Equations with Coefficients Having the Chebyshev Property
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中文总结 AI 辅助
本文针对系数属切比雪夫性质函数族线性张成的广义阿贝尔方程，借助梅尔尼科夫函数分析给出其极限环最大数目的下界，改进了多项式系数情形的经典下界并重现了相关结果。
中文摘要 AI 辅助
本文研究广义阿贝尔微分方程 $dx/dt = A(t)x^p + B(t)x^q$ 的极限环最大数目，其中 $A$ 和 $B$ 属于具有切比雪夫性质的函数族的线性张成空间。受Huang等人（《非线性》，2026年）提出的近期开放问题的启发，我们探究该最大数目是否可由 $p$、$q$ 及函数族的结构来界定。在一些自然假设下，通过使用梅尔尼科夫函数的一阶和二阶分析，我们给出了该最大数目的下界。与之前的工作不同，本文未对系数的具体形式作出假设。随后我们将这些估计应用于具有三角多项式、多项式及双曲系数的阿贝尔方程。在三角多项式情形下，我们重现了Álvarez等人（《数学分析与应用杂志》，2008年）和Huang等人（《SIAM应用动力系统杂志》，2020年）的结果；在多项式情形下，我们改进了Lins-Neto给出的经典下界。
英文摘要
This paper concerns the maximum number of limit cycles of generalized Abel differential equations $dx/dt = A(t)x^p + B(t)x^q$, where $A$ and $B$ belong to the linear span of a family of functions having the Chebyshev property. Motivated by a recent open problem posed by Huang et al. (Nonlinearity, 2026), we investigate whether this maximum number can be bounded in terms of $p$, $q$, and the structure of the family. Under some natural hypotheses and by means of first- and second-order analyses using Melnikov functions, we provide lower bounds for this maximum number. In contrast to previous work, no specific form for the coefficients is assumed. We then apply these estimates to Abel equations with trigonometric polynomial, polynomial, and hyperbolic coefficients. In the trigonometric polynomial case, we reestablish the results of Álvarez et al. (J. Math. Anal. Appl., 2008) and Huang et al. (SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2020), while in the polynomial case, we improve the classical lower bound given by Lins-Neto.
