AI 中文总结
针对 Cohen-Macaulay 局部环上的极大 Cohen-Macaulay 模，在环为非完全交和完全交两种情形下，分别给出了满足特定 Betti 数曲率条件的模的重数下界，并通过例子验证结果的最优性。
AI 中文摘要
设 $(A,\mathfrak{m})$ 是维数为 $d$、剩余域为 $k$ 的 Cohen-Macaulay 局部环，$M$ 是极大 Cohen-Macaulay $A$-模，$e(M)$ 为 $M$ 的重数，$\mu(M)$ 为其极小生成元个数。（1）假设 $A$ 不是完全交，若 $\text{curv}(M) < \text{curv}(k)$，则在温和条件下证明 $e(M) \geq \mu(M)(1 + \text{curv}(k))$；（2）假设 $A$ 是完全交，若 $\text{cx}(M) < \text{cx}(k)$，则证明 $e(M) \geq 2\mu(M)$。两种情形均给出例子表明结果是最优的。
英文摘要
Let $(A,\mathfrak{m})$ be a Cohen-Macaulay local ring of dimension $d$ and residue field $k$. Let $M$ be a maximal Cohen-Macaulay $A$-module. Let $e(M)$ be the multiplicity of $M$ and let $μ(M)$ denote the number of its minimal generators. (1) Assume $A$ is not a complete intersection. If $\text{curv}(M) < \text{curv}(k)$ then we prove that under mild conditions, $e(M) \geq μ(M)(1 + \text{curv}(k))$. (2) Assume $A$ is a complete intersection. If $\text{cx}(M) < \text{cx}(k)$ then we prove that $e(M) \geq 2μ(M)$. In both cases we give examples which shows our results are sharp.
