发表机构
Institute of Computer Science and Digital Innovation, UCSI University; Tsinghua Shenzhen International Graduate School, Tsinghua University; Institute of Mathematical Sciences, University of Malaya（UCSI大学计算机科学与数字创新学院; 清华大学深圳国际研究生院; 马来亚大学数学科学学院）
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该研究在 $p=3/2$ 时构造反例否定 Tang-Zhang Schatten 范数猜想，同时证明 $2\leq p<\infty$ 等情形下该猜想的严格界成立，并给出 $m=2$、$p=4$ 复矩阵情形的严格常数。
AI 中文摘要
对于 $m\geq2$，令 $c_p(m)$ 为下式中的全维最优常数：$$\left\\|\sum_{k=1}^m A_k\right\\|_p \leq c_p(m)\left\\|\sum_{k=1}^m |A_k|\right\\|_p.$$ Tang 和 Zhang 对所有有限 $p>1$ 猜想了一个显式公式。我们在 $p=3/2$ 时用两个显式的实 $2\times2$ 秩 1 矩阵否定了该猜想，此比较由七个严格有理不等式验证，且所得比值大于 $207/200$，而猜想的常数小于 $207/200$。正结果方面，我们证明了当 $2\leq p<\infty$ 时，所有秩至多为 1 的求和项族满足猜想的严格界，并分类了所有等号情形；还证明了 $p=\infty$ 时的对应端点结论；最后对任意复矩阵，在 $m=2$、$p=4$ 时确立了猜想的严格常数。
英文摘要
For $m\geq 2$, let $c_p(m)$ be the all-dimensional best constant in $$ \left\|\sum_{k=1}^m A_k\right\|_p \leq c_p(m)\left\|\sum_{k=1}^m |A_k|\right\|_p. $$ Tang and Zhang conjectured an explicit formula for every finite $p>1$. We disprove the conjecture with two explicit real $2\times 2$ rank-one matrices at $p=3/2$. The comparison is certified by seven strict rational inequalities and, in particular, places the attained ratio above $207/200$, while the conjectured constant lies below $207/200$. On the positive side, we prove the conjectured sharp bound for every family of rank-at-most-one summands when $2\leq p<\infty$, and classify all equality cases. We also prove the corresponding endpoint statement for $p=\infty$. Finally, for arbitrary complex matrices, we establish the conjectured sharp constant in the case $m=2$, $p=4$.
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