布尔超立方上卷积的弱型界
Weak-Type Bounds for Convolution on the Boolean Hypercube
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中文总结 AI 辅助
该研究证明了布尔超立方上的Talagrand卷积猜想，通过引入新幂耦合结合已有框架与方法，得到无迭代对数因子的反集中估计，证明由Odin自动AI研究智能体发现。
中文摘要 AI 辅助
设$G$为配备均匀测度$λ$的布尔超立方，令$T_μ$表示$G$上有限正测度$μ$对应的卷积算子。对于$ψ_μ(u)=\u200bsup\u200b{uλ(\{T_μf\geq u\}):f\geq 0,\\|f\\|_1=1}$，我们证明了Talagrand卷积猜想（Talagrand, 1989）：若$μ_a=((1+a)δ_1/2+(1-a)δ_{-1}/2)^{\otimes n}$且$0<a<1$，则对所有$u > 1$和$n\geq1$，有$ψ_{μ_a}(u)\leq C_a/\sqrt{\log u}$，其中$C_a$仅依赖于$a$。证明运用了Chen (2025)的反向热与布尔桥框架，以及Xiang和Zhang (2026)的局部终端偏差法。我们提出了一种新的幂耦合：将每个反向边比率拆分为两个几何幂次。该选择产生切换指数权重，可恢复受扰坐标的精确反向跳跃速率。由此得到的端点比较给出了无迭代对数因子的反集中分布估计。该证明由Odin自动AI研究智能体发现。
英文摘要
Let $G$ be the Boolean hypercube which carries uniform measure $λ$, and let $T_μ$ denote convolution by a finite positive measure $μ$ on $G$. For $ψ_μ(u)=\sup\{uλ(\{T_μf\geq u\}):f\geq 0,\|f\|_1=1\},$ we prove Talagrand's convolution conjecture (Talagrand, 1989): if $μ_a=((1+a)δ_1/2+(1-a)δ_{-1}/2)^{\otimes n}$ and $0<a<1$, then $ψ_{μ_a}(u)\leq C_a/\sqrt{\log u}$ for every $u > 1$ and $n\geq1$, where $C_a$ depends only on $a$. The proof utilizes the reverse-heat and Boolean-bridge framework of Chen (2025) and the localized terminal-discrepancy method of Xiang and Zhang (2026). We introduce a new power coupling: each reverse edge ratio is split into two geometric powers. This choice produces a switched exponential weight which restores the exact reverse jump rate of the perturbed coordinate. The resulting endpoint comparison yields an anti-concentration profile estimate without the iterated-logarithmic factor. The proof was discovered by the Odin Automatic AI Research Agent.
