AI 中文总结
该研究针对图的覆盖理想的符号幂，证明了二分图与非二分图对应符号幂的局部v-数的不同变化规律，并给出了基于图组合数据的显式不变量公式。
AI 中文摘要
设G为简单图，其覆盖理想J(G)位于含|V(G)|个变量的多项式环S中。我们证明：当G为二分图时，对所有t≥1，符号幂J(G)^(t)的局部v-数呈线性；当G为非二分图时，对所有t≥2，其局部v-数呈周期为2的准线性。此外，我们结合G的组合数据给出了这些不变量的显式公式。
英文摘要
Let $G$ be a simple graph with cover ideal $J(G)$ in a polynomial ring $S$ with $|V(G)|$ variables. We prove that the local $v$-number of the symbolic powers $J(G)^{(t)}$ is linear for all $t \ge 1$ when $G$ is bipartite, and quasi-linear with period two for all $t \ge 2$ when $G$ is non-bipartite. Furthermore, we provide explicit formulas for these invariants in terms of the combinatorial data of $G$.
