三维非散度型一致椭圆方程的无界变差解
Unbounded variation solutions for uniformly elliptic equations in nondivergence form in dimension three
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中文总结 AI 辅助
该研究构造特定系数矩阵证明三维非散度型一致椭圆方程不存在仅依赖椭圆性的内部 $W^{1,1}$ 及更高次 $W^{1,p}$ 估计，解决了相关开放问题并得到非局部有界变差的极限函数。
中文摘要 AI 辅助
对每个非负整数 $m$，我们构造满足固定椭圆性界 $I\leq A_m\leq 2^{81}I$ 的光滑对称 $3\times3$ 系数矩阵 $A_m$，使得三维空间中单位球 $B_2$ 内非散度型一致椭圆方程 $\text{tr}(A_m(x)D^2 u_m)=A_m(x):D^2u_m=0$ 的光滑解具有相同的狄利克雷边界数据，且满足 $\\|u_m\\|_{L^\infty(B_2)}\leq1$，但 $\lim_{m\to \infty}\\|Du_m\\|_{L^1(B_1)}=\infty$。由此可知，三维空间中不存在仅依赖椭圆性的内部 $W^{1,1}$ 估计，进而对任意 $p\geq1$ 也不存在此类 $W^{1,p}$ 估计，这以否定方式解决了Nadirashvili、Tkachev与Vlăduţ提出的开放问题。该构造还对由 $A_m$ 的 $L^1$ 极限得到的可测一致椭圆系数矩阵，给出了一致收敛的极限 $u\notin \text{BV}_{\rm loc}(B_1)$。
英文摘要
For each nonnegative integer $m$, we construct smooth symmetric $3\times 3$ coefficient matrices $A_m$ satisfying the fixed ellipticity bound \[ I\leq A_m\leq 2^{81}I \] for which the smooth solutions of uniformly elliptic equations in nondivergence form \[ \text{tr}(A_m(x)D^2 u_m)=A_m(x):D^2u_m=0\qquad\text{in }B_2\subset {\mathbb R}^3 \] have common Dirichlet data, satisfy $\|u_m\|_{L^\infty(B_2)}\leq1$, but \[ \lim_{m\to \infty}\|Du_m\|_{L^1(B_1)}=\infty. \] Thus, there is no interior $W^{1,1}$ estimate depending only on ellipticity in dimension three, and consequently no such $W^{1,p}$ estimate for any $p\geq1$. This resolves in the negative an open question raised by Nadirashvili, Tkachev, and Vlăduţ. The construction also gives a uniformly convergent limit $u\notin \text{BV}_{\rm loc}(B_1)$ for a measurable uniformly elliptic coefficient matrix obtained as an $L^1$ limit of the $A_m$.
发表机构
- Indiana University（印第安纳大学）
- Rutgers University（罗格斯大学）
- University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
