AI 中文总结
该研究针对用二元子立方体覆盖三元立方体的问题，确定了最小覆盖数f(n)的上界，解答了Imre Leader的问题，还得出f(n)与(3/2)ⁿ比值的单调性及相关常数范围。
AI 中文摘要
对于整数n≥0，设f(n)为Z₃ⁿ中形如A₁×…×Aₙ的子立方体的最小数量，其中每个|Aᵢ|=2，这些子立方体的并集覆盖Z₃ⁿ。简单计数论证给出f(n)≥(3/2)ⁿ，而通过随机构造得f(n)=O(n(3/2)ⁿ)。我们证明f(n)≤2(3/2)ⁿ−1，解答了Imre Leader的问题。还表明f(n)/(3/2)ⁿ非递减，存在常数C₃，满足f(n)=(C₃+o(1))(3/2)ⁿ，其中1.62227<C₃≤2。
英文摘要
For an integer $n\ge0$, let $f(n)$ be the minimum number of subcubes of $\mathbb{Z}_3^n$ of the form $A_1\times\cdots\times A_n$, where $|A_i|=2$ for every $i$, whose union covers $\mathbb{Z}_3^n$. A simple counting argument gives $f(n)\ge(3/2)^n$, while $f(n)=O(n(3/2)^n)$ by random construction. We prove that $f(n)\le2(3/2)^n-1$, answering a problem of Imre Leader. We also show that $f(n)/(3/2)^n$ is nondecreasing and there exists a constant $C_3$ such that $f(n)=(C_3+o(1))(3/2)^n$ where $1.62227<C_3\le2$.
