发表机构
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究针对平面图中奇环的最大副本数问题，证明了一个精确渐近界公式，解决了Heath等人提出的相关加权优化猜想，确定了所有固定奇环的主项。
AI 中文摘要
对于图G和H，记N(G,H)为G中H的未标记、不一定诱导的副本数量，记N_P(n,H)为所有n顶点平面图G中N(G,H)的最大值。我们证明，对于每个固定整数m≥3，N_P(n,C_{2m+1})=2m(n/m)^m + O_m(n^{m-1/5})。Heath、Martin和Wells将主项的确定简化为涉及环和路径的加权优化猜想，我们针对完全图边的概率权重证明了一个更强的精确环-路径不等式，并刻画了他们猜想不等式中的等式情况。结合他们的归约定理，这一结果解决了该猜想并得到上述公式，包括给定的误差项。其中m≥5的情况是新的；结合已知的C₃和C₅的结果，这确定了平面图中每个固定奇环的主项。
英文摘要
For graphs $G$ and $H$, let $\mathbf N(G,H)$ denote the number of unlabeled, not necessarily induced copies of $H$ in $G$, and let $\mathbf N_{\mathcal P}(n,H)$ be the maximum of $\mathbf N(G,H)$ over all $n$-vertex planar graphs $G$. We prove that, for every fixed integer $m\geq 3$, $$\mathbf N_{\mathcal P}(n,C_{2m+1})=2m\left(\frac{n}{m}\right)^m+O_m\!\left(n^{m-1/5}\right).$$ The proof uses a sharp weighted cycle--path inequality for edge probability measures on finite complete graphs. This strengthens a conjecture of Heath, Martin, and Wells and, together with their reduction lemma, yields the stated asymptotic formula.
