可数函数平衡群
Countable uniformly discrete sets in functionally balanced groups
AI总结：
该研究回答了拓扑群领域的两个问题，证明可数豪斯多夫函数平衡群是平衡群，还得到FSIN群的相关离散族性质，明确了问题间的逻辑关系。
AI中文摘要：
我们证明了每个可数豪斯多夫函数平衡拓扑群都是平衡群，回答了Bouziad和Troallic问题列表中的问题13。该证明未假设可度量化、第一可数性、序列性或非阿基米德局部基。其非局部预紧部分结合了无限纤维放大、针对可数多个任意自映射的同时伯努利染色引理、关于连续左不变伪度量的McShane延拓以及Protasov-Saryev准则。我们还证明了问题4的可数并形式：在FSIN群中，每个左一致离散且其并为可数的族都是右一致离散的。因此，问题7和8对ℵ₀有界FSIN群有肯定答案。我们重构了全部13个问题及其逻辑关系。原问题章节未加证明地指出，问题13的肯定回答将蕴含问题4对所有ℵ₀有界群成立。我们分离了该传递所需的环境反射原理，并解释了为何子群约化或当前染色证明都无法确立它。因此，此处未声称解决问题12：明确记录了已证可数定理与断言的ℵ₀有界传递之间的精确边界。
英文摘要：
We prove that every countable left uniformly discrete subset of a Hausdorff functionally balanced topological group is right thin. As applications, we answer two questions of Bouziad and Troallic: every left precompact subset of a Hausdorff functionally balanced group is right precompact, and every Hausdorff $ω$-narrow functionally balanced group is a SIN group.
