L-函数的幂和与西格尔型无零点区域
Power sums and Siegel-type zero-free regions for L-functions
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中文总结 AI 辅助
该研究针对数域上GL(n)的酉尖自守表示对应的L-函数，通过幂和下界的新方法得到西格尔型无零点区域，相关结果可改进素数定理并推广Brauer-Siegel定理。
中文摘要 AI 辅助
设π与π'是数域F上GL(n)与GL(n')的酉尖自守表示，𝔠_π为π的解析导体。我们通过幂和下界发展了一种得到L-函数无零点区域的新方法，对任意ε>0，证明存在无效常数c=c_{n,F,ε}>0与c'=c'_{n,F,π',ε}>0，使得标准L-函数L(s,π)在σ≥1−c(𝔠_π(|t|+3))^{−ε}时满足|L(σ+it,π)|≥c(𝔠_π(|t|+3))^{−ε}，Rankin-Selberg L-函数L(s,π×π')在σ≥1−c'(𝔠_π(|t|+3))^{−ε}时满足|L(σ+it,π×π')|≥c'(𝔠_π(|t|+3))^{−ε}。应用包括改进这些L-函数的素数定理，以及Brauer-Siegel定理的新推广。
英文摘要
Let $π$ and $π'$ be unitary cuspidal automorphic representations of $\mathrm{GL}(n)$ and $\mathrm{GL}(n')$ over a number field $F$. Let $\mathfrak{C}_π$ be the analytic conductor of $π$. We develop a new approach to zero-free regions for $L$-functions via lower bounds for power sums, proving for all $\varepsilon>0$ the existence of ineffective constants $c=c_{n,F,\varepsilon}>0$ and $c'=c'_{n,F,π',\varepsilon}>0$ such that the standard $L$-function $L(s,π)$ satisfies \[ |L(σ+it,π)|\geq c(\mathfrak{C}_π(|t|+3))^{-\varepsilon},\qquad σ\geq 1-c(\mathfrak{C}_π(|t|+3))^{-\varepsilon} \] and the Rankin-Selberg $L$-function $L(s,π\timesπ')$ satisfies \[ |L(σ+it,π\timesπ')|\geq c'(\mathfrak{C}_π(|t|+3))^{-\varepsilon},\qquad σ\geq 1-c'(\mathfrak{C}_π(|t|+3))^{-\varepsilon}. \] Applications include improvements to the prime number theorems for these $L$-functions and new generalizations of the Brauer-Siegel theorem.
