避免完全幂的两个整数的乘积
Products of Two Integers Avoiding Perfect Powers
AI总结：
针对 $k=2$ 的情况建立了渐近公式，回答了 $d=3$ 时的首项常数问题，否定了 $d\geq4$ 时的阶的相关猜想。
AI中文摘要：
对于整数 $d\geq3$，设 $F_{2,d}(n)$ 为集合 $[n]$ 中不含两个不同元素且其乘积为完全 $d$ 次幂的子集的最大规模，而 $f_{2,d}(n)$ 表示两个元素不必不同时的类似量。Fleiner、Juhász、Kövér、Pach 和 Sándor 证明了当 $d=3$ 时，两者的补集均具有 $n^{2/3}$ 的阶，并询问了首项常数；他们还提出更一般的问题：对于 $1<k<d$，$n-F_{k,d}(n)$ 和 $n-f_{k,d}(n)$ 是否具有 $n^{k/d}$ 的阶。我们对每个固定的 $d\geq3$，在 $k=2$ 的情况下建立了渐近公式：$n-F_{2,d}(n)\sim n-f_{2,d}(n) \sim C_d\\, n^{2/d}(\log n)^{d-3}$，其中 $C_d>0$ 由欧拉乘积和多面体体积明确给出。特别地，额外的对数因子对所有 $d\geq4$ 的第二个问题给出否定答案；对于 $d=3$，我们得到 $C_3=\frac{\pi^2}{4} \prod_p\left(1-\frac{3}{p^2}+\frac{2}{p^3}\right)$，从而回答了第一个问题。证明过程使用了互补 $d$ 自由核类的精确分解、乘法盒中的无平方因子筛法，以及双高度多面体计算。
英文摘要：
For integers $d\geq 3$, let $F_{2,d}(n)$ be the largest size of a subset of $[n]$ containing no two distinct elements whose product is a perfect $d$-th power, and let $f_{2,d}(n)$ denote the analogous quantity when the two elements need not be distinct. Fleiner, Juhász, Kövér, Pach, and Sándor proved that both complements have order $n^{2/3}$ when $d=3$, and asked for a leading constant. They also asked whether, more generally, $n-F_{k,d}(n)$ and $n-f_{k,d}(n)$ have order $n^{k/d}$ for $1<k<d$. We establish asymptotic formula in the case $k=2$ for every fixed $d\geq3$, \[ n-F_{2,d}(n)\sim n-f_{2,d}(n) \sim C_d\, n^{2/d}(\log n)^{d-3}, \] where $C_d>0$ is given explicitly by an Euler product and a polytope volume. In particular, the extra logarithmic factor gives a negative answer to the second question for every $d\geq4$. For $d=3$ we obtain \[ C_3=\frac{π^2}{4} \prod_p\left(1-\frac3{p^2}+\frac2{p^3}\right), \] which answers the first question. The proof uses an exact decomposition into complementary $d$-free kernel classes, a squarefree sieve in multiplicative boxes, and a two-height polytope calculation.
