典型群中框架计数与集合稳定子的精确界

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设 $k$ 为域，$V=k^n$，$G$ 为作用在 $V$ 上的典型群。对有限子集 $E\subset V$ 和 $V$ 的一组基 $u=(u_1,\dots,u_n)$，我们研究 $E$ 中含有的 $u$ 型 $G$-框架的集合，等价于集合 $T_{E,u}^G:=\{g\in G(k)\mid \text{对每个}i,gu_i\in E\}$。在下文所述情形中，我们证明形如 $|T_{E,u}^G|\ll_n |E|^\alpha$ 的估计，该估计在所有域上一致成立，且在该一致情形下有精确指数。当 $G=\operatorname{SL}_n$ 时，一致精确指数为 $n-1/n$；当 $n=2,3$ 且 $\operatorname{char}(k)\neq 2$ 的正交群时，一致精确指数为 $n/2$。我们提出一种代数几何形式的 Brascamp--Lieb 不等式，该不等式将对所有维数给出正交群的指数 $n/2$。对 $V$ 中有限且张成 $V$ 的子集 $E$ 在 $G(k)$ 中的相关集合稳定子 $R_E^G$，我们还证明了特征零域上的精确界 $|R_E^G|\ll_n |E|^{\operatorname{rank}G}$，其中 $\operatorname{rank}G$ 表示绝对秩，该界适用于特殊线性群、正交群和辛群。

英文摘要

Let $k$ be a field, let $V=k^n$, and let $G$ be a classical group acting on $V$. For a finite subset $E\subset V$ and a basis $u=(u_1,\dots,u_n)$ of $V$, we study the set of $G$-frames of type $u$ contained in $E$, or, equivalently, the set $T_{E,u}^G:=\{g\in G(k)\ |\ g u_i\in E\text{ for each $i$}\}$. In the cases described below, we prove estimates of the form $|T_{E,u}^G|\ll_n |E|^α$ that are uniform over all fields, with sharp exponents in this uniform setting. For $G=\operatorname{SL}_n$, the uniform sharp exponent is $n-1/n$. For orthogonal groups in dimensions $n=2,3$, with $\operatorname{char}(k)\neq 2$, the uniform sharp exponent is $n/2$. We propose an algebro-geometric Brascamp--Lieb inequality which would lead to the orthogonal exponent $n/2$ in all dimensions. For the related setwise stabilizer $R_E^G$ of $E$ in $G(k)$, where $E\subset V$ is finite and spans $V$, we also prove the sharp characteristic-zero bound $|R_E^G|\ll_n E|^{\operatorname{rank}G}$ for the special linear, orthogonal, and symplectic groups, where $\operatorname{rank}G$ denotes the absolute rank.

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32 pages