无理旋转的编辑距离指数
Edit distance exponents for irrational rotations
AI总结：
该研究分析无理旋转符号编码的编辑距离渐近行为，推导了相关增长指数，还给出其在非周期圆周同胚、斯特姆序列及高维旋转上的推论，并提出相关开放问题。
AI中文摘要：
我们研究基于无理旋转 $x \mapsto x+\alpha$ 在环面 $\mathbb{T}$ 上的符号编码的定量编辑距离渐近行为，其中无理指数 $\mu(\alpha)$ 是使得不等式 $0 < |\alpha - p/q| < q^{-\mu}$ 有无穷多解的实数 $\mu$ 的上确界。对于由区间 $[0,\beta)$ 确定的二元编码，令 $\mathcal{W}_N$ 为所有初始点 $x$ 在映射 $x \mapsto x+\alpha$ 下产生的长度为 $N$ 的字集合。我们开发了估计编辑距离的新技术，并计算编辑距离直径 $\mathrm{diam}_E(\mathcal{W}_N)$ 的增长指数。对于所有 $\alpha \notin \mathbb{Q}$ 以及几乎所有 $\beta \in (0,1)$，我们证明：$\displaystyle (*) \quad \limsup_{N\to\infty}\frac{\log \mathrm{diam}_E(\mathcal{W}_N)}{\log N} = \frac{\mu(\alpha)-1}{\mu(\alpha)}$，且对应的下极限等于 $1/2$。当 $\mu(\alpha)-1$ 不超过黄金分割比 $\varphi$ 时，渐近式 $(*)$ 对所有 $\beta$ 成立；但当 $\mu>1+\varphi$ 时，存在不可数个满足 $\mu(\alpha)=\mu$ 的 $\alpha$，使得对不可数个 $\beta$，其编辑距离指数严格小于 $(*)$。我们还推导了这一结果在非周期圆周同胚和斯特姆序列（Sturmian sequences）上的推论；对于由矩形编码的 $\mathbb{T}^d$ 旋转，我们证明对几乎所有旋转向量，公共编辑距离指数为 $d/(d+1)$。最后，我们提出了对更一般动力系统估计编辑距离指数的问题。
英文摘要：
We study quantitative edit-distance asymptotics for symbolic codings of irrational rotations $x \mapsto x+α$ on $\mathbb{T}$ in terms of the irrationality exponent $μ(α)$, the supremum of $μ\in \mathbb{R}$ for which the inequality $0 < |α- p/q| < q^{-μ}$ has infinitely many solutions. For the binary coding determined by an interval $[0,β)$, let $\mathcal{W}_N$ be the set of length-$N$ words arising from all initial points $x$ under $x \mapsto x+α$. We develop new techniques for estimating edit distance and compute the growth exponents of the edit-distance diameter $\mathrm{diam}_E(\mathcal{W}_N)$. For every $α\notin \mathbb{Q}$ and almost every $β\in (0,1)$, we show that $\displaystyle (*) \quad \limsup_{N\to\infty}\frac{\log \mathrm{diam}_E(\mathcal{W}_N)}{\log N} = \frac{μ(α)-1}{μ(α)},$ and the corresponding $\liminf$ equals $1/2$. When $μ(α)-1$ is at most the golden mean $φ$, the asymptotics $(*)$ hold for all $β$. However, for $μ>1+φ$, there is an uncountable set of $α$ with $μ(α)=μ$ for which the edit-distance exponents are strictly smaller than $(*)$ for uncountably many $β$. We also derive consequences for aperiodic circle homeomorphisms and Sturmian sequences. For rotations of $\mathbb{T}^d$ coded by boxes, we prove that for almost every rotation vector, the common edit-distance exponent is $d/(d+1)$. Finally, we raise the question of estimating edit-distance exponents for more general dynamical systems.
