AI 中文总结
针对n阶复矩阵的缩放q-数值域，通过推导其与矩阵条件数相关的并集表示，证明了多项式作用于矩阵的范数的尖锐不等式，给出了该范数上界的精确表达式
AI 中文摘要
对于n≥2，A属于n阶复矩阵空间Mₙ(ℂ)且0<|q|≤1，设Ω_q(A)=q⁻¹W_q(A)为缩放q-数值域；我们证明对任意γ≥1，Ω_{η(γ)}(A)=∪_{κ(S)≤γ}W(S⁻¹AS)，其中η(γ)=2/(γ+γ⁻¹)，κ(S)=||S||·||S⁻¹||；据此证明对所有多项式p，有尖锐不等式||p(A)||≤max{1,2|q|/(1+√(1-|q|²))}·max_{z∈Ω_q(A)}|p(z)|
英文摘要
For $ n \geq 2$, $A\in M_n(\mathbb C)$ and $0<|q|\leq 1$, let $Ω_q(A)=q^{-1}W_q(A)$ be the scaled $q$-numerical range. We prove that for every $γ\geq 1$, \[ Ω_{η(γ)}(A) =\bigcup_{κ(S)\leqγ}W(S^{-1}AS), \qquad η(γ)=\frac{2}{γ+γ^{-1}}, \] where $κ(S)=\|S\|\,\|S^{-1}\|$. As a consequence, we prove the sharp inequality \[ \|p(A)\|\leq \max\!\left\{1,\frac{2|q|}{1+\sqrt{1-|q|^2}}\right\} \max_{z\inΩ_q(A)}|p(z)|, \] for all polynomials $p$.
