亚循环域的计数
Counting metacyclic fields
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文研究奇素数ℓ次纯域的伽罗瓦闭包（亚循环域）的计数问题，得出其计数函数的渐近公式，明确了相关显式常数的表达形式。
中文摘要 AI 辅助
我们将亚循环域K定义为纯域Q(√[ℓ]{D})的伽罗瓦闭包，其中D为整数，ℓ为奇素数。设M_ℓ为次数为ℓ(ℓ-1)的亚循环域的同构类集合，N_ℓ(X)为满足判别式Δ_K的绝对值≤X的这类域的计数函数。我们证明N_ℓ(X)渐近于A_ℓ X^{1/(ℓ-1)²}(log X)^{ℓ-2}，其中A_ℓ为显式常数，可表示为有理数乘以素数上1/p的ℓ次多项式乘积。
英文摘要
By a metacyclic field $K$ we mean the Galois closure of a pure field $\mathbb{Q}(\sqrt[\ell]{D})$, $D\in\mathbb{Z}$, of odd prime degree $\ell$. Let $\mathcal{M}_\ell$ denote the collection of isomorphism classes of metacyclic fields of degree $\ell(\ell-1)$. Write $N_\ell(X)=\#\{K\in\mathcal{M}_\ell: |Δ_K|\leq X\}$ for the associated counting function, where $Δ_K$ denotes the discriminant of $K$. We show $$N_\ell(X)\sim A_\ell X^{\frac{1}{(\ell-1)^2}}(\log X)^{\ell-2}\,,$$ for an explicit constant $A_\ell$. We express $A_\ell$ as a rational number times a product over primes of a degree $\ell$ polynomial in $1/p$.
