AI 中文总结
该研究针对扩散QST的密度矩阵参数化开展设计空间研究，基于雅可比格拉姆矩阵建立几何框架，经2、3量子比特实验得出关键发现并提供参数化选择指南，为QST方法设计提供支撑。
AI 中文摘要
基于扩散的量子态层析成像（QST）已展现出良好的结果，但现有所有方法均隐含采用单一参数化方式——通常为Cholesky分解——而未经过系统评估。我们针对扩散QST的密度矩阵参数化开展设计空间研究，引入基于雅可比格拉姆矩阵$\boldsymbol{J}^\top\boldsymbol{J}$的几何框架，该框架可量化两个相互竞争的准则：等距条件数与物理约束满足度。我们在2量子比特和3量子比特规模下对7种参数化方式进行校准，得到三项关键发现：第一，等距性与约束是正交准则——不存在单一参数化方式能同时优化两者；第二，理论优雅性无法预测几何质量：指数映射在2量子比特下的谱范围为149倍，在3量子比特下为75658倍，而更简单的参数化方式仍保持良好条件数；第三，仅几何条件数无法完全预测端到端性能：在无无分类器引导（CFG）时，Hermitian直接参数化尽管局部等距性更差，但表现优于Bloch参数化；在有CFG时，由于边界效应被放大，排名发生反转。端到端训练证实，在无CFG时，条件数更好的参数化方式收敛更快且能达到更高保真度。我们提供可操作的选择指南，以指导未来QST方法的设计。
英文摘要
Diffusion-based quantum state tomography (QST) has shown promising results, but all existing methods implicitly adopt a single parameterization (typically Cholesky) without systematic evaluation. We present the first design space study of density matrix parameterizations for diffusion QST, introducing a geometric framework based on the Jacobian Gram matrix $\mathbf{J}^\top\mathbf{J}$. Our calibration of seven parameterizations at 2- and 3-qubit scales, validated by end-to-end training, reveals that \emph{geometric conditioning alone does not predict end-to-end performance}: at 3-qubit scale, Hermitian direct ($κ= 2.0\times$) performs worse than Cholesky ($κ= 27\times$) at all shot levels---a $13.5\times$ isotropy advantage that translates into a fidelity \emph{disadvantage} of up to $+0.51$. The 2-qubit ranking (Hermitian $>$ Bloch) reverses at 3 qubits (Bloch 0.907 vs.\ Hermitian 0.394). We provide a geometric explanation: unbounded parameterizations suffer projection-induced information loss because the PSD constraint couples diagonal and off-diagonal coordinates in ways the unconstrained model cannot respect, whereas the Bloch representation places the maximally mixed state at the center of the valid region, minimizing projection loss.
