关于 Yamabe 不变量与 Paneitz 算子的正性
On the positivity of Yamabe invariant and Paneitz operator
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中文总结 AI 辅助
该研究针对 $n\ge5$ 的光滑紧致黎曼流形，建立了 Yamabe 不变量、Paneitz 算子的正性与共形度量存在性的等价关系，证实相关猜想并解决 Hang-Yang 的问题，还明确了两组假设的等价性。
中文摘要 AI 辅助
设 $(M^n,g)$ 为维数 $n\ge5$ 的光滑紧致黎曼流形，我们证明：存在具有正 $Q$ 曲率 $Q_g$ 和正标量曲率 $R_g$ 的共形度量，等价于 Yamabe 不变量 $Y(M^n,[g])$ 与 Paneitz 算子 $P_g$ 均为正。当 $n=5$ 时，该等价关系证实了 Gursky-Hang-Lin（2016，IMRN）的一个猜想；进一步，在假设 $Y(M^n,[g])>0$、$Q_g\ge0$ 且 $Q_g\not\equiv0$ 的条件下，我们证明 $R_g$ 和 $P_g$ 均为正，解决了 Hang-Yang（2016，CPAM）的一个问题；作为推论，我们表明 Gursky-Malchiodi（2015，JEMS）的假设与 Hang-Yang（2016，CPAM）的假设等价。
英文摘要
Let $(M^n,g)$ be a smooth compact Riemannian manifold of dimension $n\ge 5$. We show that the existence of a conformal metric with positive $Q$-curvature $Q_g$ and positive scalar curvature $R_g$ is equivalent to the positivity of both the Yamabe invariant $Y(M^n,[g])$ and the Paneitz operator $P_g$. For $n=5$, this equivalence confirms a conjecture of Gursky-Hang-Lin (2016, IMRN). Furthermore, assuming $Y(M^n,[g])>0$, $Q_g\ge 0$, and $Q_g\not\equiv 0$, we prove that both $R_g$ and $P_g$ are positive which resolves a problem of Hang-Yang (2016, CPAM). As a corollary, we show that the hypotheses of Gursky-Malchiodi (2015, JEMS) are equivalent to those of Hang-Yang (2016, CPAM).
