奇数阶下 $\u200b\operatorname{per}(I-A)$ 的最大值
The Maximum of $\operatorname{per}(I-A)$ in Odd Order
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文完整证明了Kim与Roush于1981年提出的关于奇数阶双随机矩阵的积和式最大值猜想，并刻画了所有达到最大值的矩阵为特定分块构造矩阵的同时置换共轭形式。
中文摘要 AI 辅助
设 $\Omega_n$ 为所有 $n\times n$ 双随机矩阵构成的集合。1981年Kim与Roush猜想：当 $n=2k+1>1$ 时，$\max_{A\in\Omega_{2k+1}}\operatorname{per}(I-A)=3\cdot 2^{k-2}$。他们提出分块构造 $A_\star=\frac12(J_3-I_3)\oplus P_2^{\oplus(k-1)}$，其中 $P_2=\begin{pmatrix}0&1\\\\1&0\end{pmatrix}$，$J_3$ 是 $3\times3$ 全1矩阵，且未断言极值点唯一。本文完整证明了该猜想，并刻画了等号成立情形：最大值点恰好是 $A_\star$ 的所有同时置换共轭矩阵。
英文摘要
Let $Ω_n$ denote the set of $n\times n$ doubly stochastic matrices. Kim and Roush conjectured in 1981 that, for $n=2k+1>1$, $ \max_{A\inΩ_{2k+1}}\operatorname{per}(I-A)=3\cdot 2^{k-2}$. They proposed the block construction $A_\star=\frac12(J_3-I_3)\oplus P_2^{\oplus(k-1)}$, where $P_2=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Here $J_3$ is the $3\times3$ all-ones matrix. They did not claim uniqueness. We fully prove their conjecture and classify equality: the maximizers are exactly the simultaneous-permutation conjugates of $A_\star$.
