受限广义舒尔数
Restricted generalized Schur numbers
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中文总结 AI 辅助
本文研究受限广义舒尔数S_r(k;ℓ)，固定ℓ≥2时证明大k下S₂(k;ℓ)的闭式表达式，特别给出S₂(k;2)的具体形式。
中文摘要 AI 辅助
对于k≥2，设S_r(k;ℓ)为最小的n（若存在），使得{1,2,…,n}的每一种r染色都存在方程x₁+x₂+…+x_k=x_{k+1}的单色解S，且S中不同整数的个数恰好为ℓ+1。我们证明，若ℓ≥2固定，则对足够大的k有S₂(k;ℓ)=k²+[(ℓ+1)(ℓ-2)/2 +2]k +ℓ(ℓ-2)；特别地，对所有k≥3有S₂(k;2)=k²+2k。
英文摘要
For $k\geq2$, let $S_r(k;\ell)$ be the smallest $n$, if exists, such that every $r$-coloring of $\{1,2,\ldots,n\}$ has a monochromatic solution $\mathcal{S}$ to the equation \[ x_1+x_2+\cdots+x_k=x_{k+1} \] such that the number of distinct integers in $\mathcal{S}$ is exactly $\ell+1$. We prove that, if $\ell\geq2$ is fixed, then \[ S_2(k;\ell)= k^2+\left[\frac{(\ell+1)(\ell-2)}{2}+2\right]k+\ell(\ell-2) \] for all large enough $k$. In particular, we have $S_2(k;2)=k^2+2k$ for all $k\geq3$.
