关于矩形的分拆函数的注记
A note on the partition function of a rectangle
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中文总结 AI 辅助
本文研究矩形分拆函数 $p(n,n)$ 和 $p(3,n)$ 的渐近行为，给出二者的指数形式渐近公式，还提供了 $p(n,n)$ 的上下界及 $p(3,n)$ 的独立上界。
中文摘要 AI 辅助
我们研究矩形分拆函数 $p(n,n)$ 和 $p(3,n)$ 的渐近行为。函数 $p(n,n)$ 计数将 $n\times n$ 正方形分拆为整数边长矩形块的分拆，$p(3,n)$ 计数将 $3\times n$ 矩形分拆为此类矩形块的分拆。当两个矩形分拆包含相同的矩形类型多重集，且块 $a\times b$ 与块 $b\times a$ 视为同一分拆时，我们得到主要结果：$p(n,n) = \exp\left( \left(\tfrac{\pi}{\sqrt{3}}+o(1)\right)n\sqrt{\log n} \right)$，$p(3,n) = \exp\left( \pi\sqrt{\tfrac{11n}{3}}+O(\log n) \right)$。我们还给出了 $p(n,n)$ 更简单的上下界，以及 $p(3,n)$ 的独立上界。
英文摘要
We investigate the asymptotic behavior of the rectangle partition functions $p(n,n)$ and $p(3,n)$. The function $p(n,n)$ counts partitions of the square $n\times n$ into rectangular blocks with integer sides, while $p(3,n)$ counts such partitions of the rectangle $3\times n$. Two rectangle partitions are identified when they contain the same multiset of rectangle types, and a block $a\times b$ is identified with a block $b\times a$. Our main results are $$ p(n,n) = \exp\left( \left(\tfracπ{\sqrt3}+o(1)\right)n\sqrt{\log n} \right) $$ and $$ p(3,n) = \exp\left( π\sqrt{\tfrac{11n}{3}}+O(\log n) \right). $$ We also present simpler upper and lower bounds for $p(n,n)$ and an independent upper bound for $p(3,n)$.
