AI 中文总结
该研究针对黎曼ξ函数的詹森多项式，证明了使多项式双曲的条件，同时得到其零点经验测度收敛于Wigner半圆律的联合次数-导数版本，推进了黎曼假设相关性质的研究。
AI 中文摘要
设 \\[ \xi\\!\left(\frac12+z\right) =\sum_{n\geq 0}\frac{\gamma(n)}{n!}z^{2n}, \qquad J^{d,n}(X) =\sum_{j=0}^{d}\binom{d}{j}\gamma(n+j)X^j. \\] 黎曼假设等价于对所有非负整数 \\(d,n\\)，多项式 \\(J^{d,n}\\) 均为双曲多项式。我们证明存在绝对常数 \\(K>0\\)，使得当 \\[ n^3\log^2(n+2)\geq Kd^5 \\] 成立时，\\(J^{d,n}\\) 是双曲多项式。在该区域内满足 \\(n,d\to\infty\\) 的任意序列上，经自然中心化和尺度变换后的零点经验测度也收敛于维格纳半圆律。这一结果给出了Griffin、Ono、Rolen和Zagier所证明的固定次数埃尔米特极限的全局半圆推论的一个同时关于次数与导数的版本。
英文摘要
Let \[ ξ\!\left(\frac12+z\right) =\sum_{n\geq 0}\frac{γ(n)}{n!}z^{2n}, \qquad J^{d,n}(X) =\sum_{j=0}^{d}\binom djγ(n+j)X^j . \] The Riemann hypothesis is equivalent to the hyperbolicity of $J^{d,n}$ for every $d,n\geq0$. We prove that there is an absolute constant $K>0$ such that \[ n^3\log^2(n+2)\geq Kd^5 \quad\Longrightarrow\quad J^{d,n}\ \text{is hyperbolic}. \] Along every sequence with $n,d\to\infty$ in this region, the empirical measure of the naturally centered and scaled zeros also converges to Wigner's semicircle law. This gives a simultaneous degree--derivative version of the global semicircle consequence of the fixed-degree Hermite limit of Griffin, Ono, Rolen, and Zagier.
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