安德鲁斯的金柏林分拆的若干新结果
Some new results for Andrews' Kimberling partitions
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中文总结 AI 辅助
本文针对安德鲁斯提出的金柏林分拆函数，推导了此前未被研究的$K_=(n)$和$K_\u2265(n)$的生成函数，并建立了五个金柏林分拆函数的同余关系。
中文摘要 AI 辅助
乔治·E·安德鲁斯（2016）引入了正整数n的分拆π的金柏林指数$K(π)$，定义为$K(π) = (π的最大部分) - (π的最小部分) - (π的部分个数)$。基于金柏林指数，安德鲁斯定义了五个金柏林分拆函数$K_>(n)$、$K_<(n)$、$K_\u2264(n)$、$K_=(n)$和$K_\u2265(n)$，分别计数满足金柏林指数$K(π)>0$、$<0$、$\u22640$、$=0$、$\u22650$的正整数n的分拆个数。他还给出了$K_\u2264(n)$、$K_<(n)$和$K_>(n)$的生成函数，并建立了金柏林分拆与其他分拆函数的一些关系。此后，金柏林分拆函数及其生成函数未被进一步研究。本文利用q级数恒等式方法，推导了$K_=(n)$和$K_\u2265(n)$的生成函数，并建立了五个金柏林分拆函数的一些同余关系。
英文摘要
George E. Andrews (2016) introduced the Kimberling index, $K(π)$, of a partition $π$ of a positive integer $n$, which is defined as $$K(π) = (\text{largest part of } π) - (\text{least part of } π) - (\text{number of parts of } π).$$ Based on Kimberling index, Andrews defined five partition functions, $K_>(n),$ $K_<(n),$ $K_\leq(n),$ $K_=(n),$ and $K_\geq(n)$, called Kimberling partition functions, which count the numbers of partitions of a positive integer $n$ for which the Kimberling index $K(π) $ is $>0$, $<0$, $\leq0$, $=0$ and $\geq 0$, respectively. He also gave the generating functions for $K_\le(n),$ $K_<(n),$ and $K_>(n)$ and established some relations connecting Kimberling partitions and other partition functions. Since then, the Kimberling partition functions and their generating functions remained unexplored. In this paper, we derive generating functions for $K_=(n),$ and $K_\geq(n)$, and establish some congruence relations of the five Kimberling partition functions by using the method of $q$-series identities.
