有限矩阵幺半群的Godement-Jacquet函数方程
On the Godement-Jacquet functional equation for finite matrix monoids
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中文总结 AI 辅助
本研究利用前期得到的有限矩阵幺半群代数的秩理想单位显式公式，建立适用于GLₙ(F_q)不可约表示及该代数的正则Godement-Jacquet函数方程，进而给出其不可约本原中心幂等元的显式表达式，相关系数与退化非阿贝尔高斯和密切相关。
中文摘要 AI 辅助
在与Harman和Snowden的前期工作中，我们得到了矩阵幺半群代数$\boldsymbol{\textsf{K}}[\boldsymbol{\textsf{Mat}}_n(\boldsymbol{\textsf{F}}_q)]$的秩理想单位的显式公式，其中$\boldsymbol{\textsf{K}}$是特征不整除$q$的代数闭域。本研究利用这些显式公式，建立了适用于$\boldsymbol{\textsf{GL}}_n(\boldsymbol{\textsf{F}}_q)$不可约表示及代数$\boldsymbol{\textsf{K}}[\boldsymbol{\textsf{Mat}}_n(\boldsymbol{\textsf{F}}_q)]$的正则Godement-Jacquet函数方程；借助该方程，我们给出了$\boldsymbol{\textsf{K}}[\boldsymbol{\textsf{Mat}}_n(\boldsymbol{\textsf{F}}_q)]$不可约本原中心幂等元的显式表达式，且$\boldsymbol{\textsf{K}}$的特征不整除$|\boldsymbol{\textsf{GL}}_n(\boldsymbol{\textsf{F}}_q)|$，值得注意的是，该公式中的系数与退化非阿贝尔高斯和密切相关。
英文摘要
In previous work with Harman and Snowden, we found explicit formulas for units of rank ideals of the matrix monoid algebra $\mathbb{K}\left[\operatorname{Mat}_n\left(\mathbb{F}_q\right)\right]$, where $\mathbb{K}$ is an algebraically closed field with characteristic not dividing $q$. In this work, we use these explicit formulas to establish a regularized Godement--Jacquet functional equation valid for irreducible representations of $\operatorname{GL}_n\left(\mathbb{F}_q\right)$ and of the algebra $\mathbb{K}\left[\operatorname{Mat}_n\left(\mathbb{F}_q\right)\right]$. Using this functional equation we give an explicit expression for primitive central idempotents corresponding to irreducible representations of $\mathbb{K}\left[\operatorname{Mat}_n\left(\mathbb{F}_q\right)\right]$, where the characteristic of $\mathbb{K}$ does not divide $\left|\operatorname{GL}_n\left(\mathbb{F}_q\right)\right|$. Interestingly, the coefficients in this formula are closely related to degenerate non-abelian Gauss sums.
